Prove que, dado o triângulo A B C, tem-se:
1+\cos \widehat{A}=\frac{2 p(p-a)}{b c}.

Passo 1

Temos um triângulo ABC com lados opostos aos vértices correspondentes de comprimentos a, b e c. Seja
p = \frac{a + b + c}{2}
o semiperímetro do triângulo. Queremos mostrar que
1 + \cos \widehat{A} = \frac{2\,p\,(p - a)}{b\,c}.

Passo 2

Pela lei dos cossenos vale
\cos \widehat{A} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2\,b\,c}.
Logo
1 + \cos \widehat{A} = 1 + \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2\,b\,c} = \frac{2\,b\,c + b^2 + c^2 - a^2}{2\,b\,c}.

Passo 3

Observe que o numerador pode ser reescrito como
b^2 + 2\,b\,c + c^2 - a^2 = (b + c)^2 - a^2 = (b + c - a)\,(b + c + a).
Assim
1 + \cos \widehat{A} = \frac{(b + c - a)\,(b + c + a)}{2\,b\,c}.

Passo 4

Pelo semiperímetro p = \tfrac{a + b + c}{2} temos
b + c + a = 2\,p \quad\text{e}\quad b + c - a = 2\,(p - a).
Substituindo no numerador,
( b + c - a )\,( b + c + a ) = 2\,(p - a)\;\cdot\;2\,p = 4\,p\,(p - a).
Logo
1 + \cos \widehat{A} = \frac{4\,p\,(p - a)}{2\,b\,c} = \frac{2\,p\,(p - a)}{b\,c}.

Resposta

1 + \cos \widehat{A} = \frac{2\,p\,(p - a)}{b\,c}.

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