Prove que as diagonais de um quadrado são perpendiculares.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar que as diagonais de um quadrado se cruzam formando ângulos retos, ou seja, são perpendiculares. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria sobre quadrados e propriedades de diagonais.
Passo 2
Sabemos que um quadrado tem quatro lados iguais e todos os seus ângulos internos medem
. As diagonais são os segmentos que ligam vértices opostos do quadrado.
Passo 3
Vamos considerar um quadrado
com diagonais
e
. Queremos provar que o ângulo formado pela interseção das diagonais,
, é de
, onde
é o ponto de interseção das diagonais.
Passo 4
Em um quadrado, as diagonais são congruentes, ou seja, têm o mesmo comprimento. Além disso, elas se bisecam, dividindo-se exatamente ao meio. Isso significa que
e
.
Passo 5
Como as diagonais se bisecam, os segmentos
,
,
e
são iguais. Portanto, os triângulos formados (
,
,
,
) são todos isósceles.
Passo 6
Nos triângulos isósceles formados pelas diagonais, os ângulos na base são iguais. Como todos esses triângulos são congruentes, os ângulos ao redor do ponto
são iguais.
Passo 7
A soma dos ângulos ao redor de um ponto é
. Como há quatro ângulos iguais no ponto
, cada um mede
.
Resposta
Portanto, as diagonais de um quadrado são perpendiculares.