Prove de duas maneiras, por indução e dividindo em casos, que
Passo 1
O enunciado pede para provar que para todo
vale
O conteúdo envolvido é teoria de divisibilidade e vamos aplicar dois métodos: prova por indução e prova por casos (analisando restos módulo 3).
Passo 2
Prova por indução:
Verificamos o caso base :
Verificamos o caso base
logo
.
Suponha agora como hipótese de indução que existe tal que
Suponha agora como hipótese de indução que existe
para algum
.
Calculamos então para :
Calculamos então para
Passo 3
Usando a hipótese
, temos
que é múltiplo de 3.
Logo, por indução, vale
Logo, por indução, vale
Passo 4
Prova por casos (restos de
em módulo 3):
Para :
Para
Para
:
Para
:
Em cada caso
fica na forma
, logo
.
Resposta
Concluímos que