Prove de duas maneiras, por indução e dividindo em casos, que
\left(\forall n \in \mathbb{N}_{0}\right)\left(3 \mid\left(n^{3}+17 n\right)\right) .

Passo 1

O enunciado pede para provar que para todo n\in\mathbb{N}_{0} vale
3 \mid \bigl(n^{3}+17n\bigr).
O conteúdo envolvido é teoria de divisibilidade e vamos aplicar dois métodos: prova por indução e prova por casos (analisando restos módulo 3).

Passo 2

Prova por indução:
Verificamos o caso base n=0:
0^3 + 17\cdot0 = 0 = 3\cdot0,
logo 3\mid(0^3+17\cdot0).
Suponha agora como hipótese de indução que existe m\in\mathbb{Z} tal que
k^3 + 17k = 3m
para algum k\in\mathbb{N}_{0}.
Calculamos então para n = k+1:
(k+1)^3 + 17(k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 17k + 17 = \bigl(k^3 + 17k\bigr) + 3k^2 + 3k + 18.

Passo 3

Usando a hipótese k^3 + 17k = 3m, temos
(k+1)^3 + 17(k+1) = 3m + 3k(k+1) + 18 = 3\bigl(m + k(k+1) + 6\bigr),
que é múltiplo de 3.
Logo, por indução, vale
\forall n\in\mathbb{N}_{0},\quad 3 \mid \bigl(n^3 + 17n\bigr).

Passo 4

Prova por casos (restos de n em módulo 3):
Para n = 3k:
n^3 + 17n = (3k)^3 + 17\cdot3k = 27k^3 + 51k = 3\bigl(9k^3 + 17k\bigr).
Para n = 3k+1:
(3k+1)^3 + 17(3k+1) = 27k^3 + 27k^2 + 9k + 1 + 51k + 17 = 3\bigl(9k^3 + 9k^2 + 20k + 6\bigr).
Para n = 3k+2:
(3k+2)^3 + 17(3k+2) = 27k^3 + 54k^2 + 36k + 8 + 51k + 34 = 3\bigl(9k^3 + 18k^2 + 29k + 14\bigr).
Em cada caso n^3+17n fica na forma 3\times(\text{inteiro}), logo 3\mid(n^3+17n).

Resposta

Concluímos que
\forall n\in\mathbb{N}_{0},\quad 3 \mid \bigl(n^{3}+17n\bigr).