Prove each of the assertions given below.
The sum of two even sequences is even.

Passo 1

O enunciado dá duas sequências pares e pede para provar que a soma delas também é par.
Dados fornecidos (já estou pegando estes como hipóteses):
  • Existem duas sequências \,(a_n)_{n\in\mathbb{Z}} e \,(b_n)_{n\in\mathbb{Z}}\,.
  • As duas sequências são pares, ou seja, para todo n\in\mathbb{Z} vale a_{-n}=a_n \qquad\text{e}\qquad b_{-n}=b_n.
O que se pede:
  • Mostrar que a sequência soma \,(c_n)_{n\in\mathbb{Z}} definida por c_n = a_n + b_né par, isto é, provar que c_{-n}=c_n para todo n\in\mathbb{Z}.

Passo 2

Definição e explicação do que significa “sequência par” e “soma de sequências”, com calma:
  • Dizer que uma sequência \,(x_n)_{n\in\mathbb{Z}} é par significa exatamente que, para qualquer índice inteiro n, o termo na posição -n é igual ao termo na posição n; em símbolos: x_{-n}=x_n\quad\text{para todo }n\in\mathbb{Z}.Aqui n é um índice arbitrário (pode ser 0,1,-1,2,\dots) — a definição vale para qualquer inteiro.
  • A soma de duas sequências é feita termo a termo: se c_n=a_n+b_n, isso significa que o n-ésimo termo da sequência soma é a soma do n-ésimo termo de a com o n-ésimo termo de b.

Passo 3

Construo a sequência soma explícita e quero verificar a propriedade de paridade para um índice genérico:
  • Defino \,c_n = a_n + b_n para todo n\in\mathbb{Z}.
  • Para testar se c é par, tomo um índice arbitrário n\in\mathbb{Z} e calculo c_{-n}.

Passo 4

Cálculo e uso das hipóteses passo a passo (sem pular etapas):
  • Pela definição de c como soma termo a termo, o termo de índice -n é c_{-n} = a_{-n} + b_{-n}.(Aqui usei apenas a definição c_k=a_k+b_k aplicando k=-n.)
  • Como a e b são pares, pelas hipóteses vale a_{-n}=a_n \qquad\text{e}\qquad b_{-n}=b_n.Substituindo essas igualdades em c_{-n} obtém-se c_{-n} = a_n + b_n.
  • Pela definição de c_n temos c_n = a_n + b_n. Portanto c_{-n} = a_n + b_n = c_n.

Passo 5

Conclusão do raciocínio e comentário final de reforço:
  • Mostrei que para um índice arbitrário n\in\mathbb{Z} sempre ocorre c_{-n}=c_n. Isso é exatamente a definição de sequência par.
  • Intuição amiga: somar duas sequências que são simétricas em torno do índice 0 preserva essa simetria — a soma é simétrica também. Se preferir um exemplo concreto e simples: se a_n=n^2 e b_n=1 (ambas pares), então c_n=n^2+1 é par porque (-n)^2+1=n^2+1.

Resposta

A sequência \,(a_n+b_n)_{n\in\mathbb{Z}}\, é par.