Prove each of the assertions given below.
The sum of two even sequences is even.
The sum of two even sequences is even.
Passo 1
O enunciado dá duas sequências pares e pede para provar que a soma delas também é par.
Dados fornecidos (já estou pegando estes como hipóteses):
- Existem duas sequências
e . - As duas sequências são pares, ou seja, para todo
vale
O que se pede:
- Mostrar que a sequência soma
definida por é par, isto é, provar que para todo .
Passo 2
Definição e explicação do que significa “sequência par” e “soma de sequências”, com calma:
- Dizer que uma sequência
é par significa exatamente que, para qualquer índice inteiro , o termo na posição é igual ao termo na posição ; em símbolos: Aqui é um índice arbitrário (pode ser ) — a definição vale para qualquer inteiro. - A soma de duas sequências é feita termo a termo: se
, isso significa que o -ésimo termo da sequência soma é a soma do -ésimo termo de com o -ésimo termo de .
Passo 3
Construo a sequência soma explícita e quero verificar a propriedade de paridade para um índice genérico:
- Defino
para todo . - Para testar se
é par, tomo um índice arbitrário e calculo .
Passo 4
Cálculo e uso das hipóteses passo a passo (sem pular etapas):
- Pela definição de
como soma termo a termo, o termo de índice é (Aqui usei apenas a definição aplicando .) - Como
e são pares, pelas hipóteses vale Substituindo essas igualdades em obtém-se - Pela definição de
temos . Portanto
Passo 5
Conclusão do raciocínio e comentário final de reforço:
- Mostrei que para um índice arbitrário
sempre ocorre . Isso é exatamente a definição de sequência par. - Intuição amiga: somar duas sequências que são simétricas em torno do índice
preserva essa simetria — a soma é simétrica também. Se preferir um exemplo concreto e simples: se e (ambas pares), então é par porque .
Resposta
A sequência
é par.