Prove que
(
é par
(
é par)).
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para todo
, “
é par” se e somente se “para todo
,
é par”. O conteúdo envolvido é a definição de número par e o uso de argumentos diretos e contrapositivos para mostrar as duas implicações de uma equivalência.
Passo 2
Prova de “se
é par, então para todo
,
é par”.<br>
Suponha par. Então existe
tal que
Suponha
Seja agora
arbitrário. Então
e como
, concluímos que
é par. Logo,
Passo 3
Prova de “se para todo
,
é par, então
é par”.<br>
Em vez de provar diretamente, usamos a contrapositive: mostramos que “se não é par (isto é,
é ímpar), então não é verdade que para todo
o produto
seja par”.<br>
Suponha ímpar. Então existe
tais que
Em vez de provar diretamente, usamos a contrapositive: mostramos que “se
Suponha
Escolha
. Então
que é ímpar. Isso prova que não vale
é par
. Assim,
e, por contraposição,
Resposta
Portanto, combinando os dois passos, concluímos que, para todo
,