Prove que (\forall a \in \mathbb{Z}) ( a é par \longleftrightarrow(\forall b \in \mathbb{Z}) ( a b é par)).

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo a\in\mathbb{Z}, “ a é par” se e somente se “para todo b\in\mathbb{Z}, ab é par”. O conteúdo envolvido é a definição de número par e o uso de argumentos diretos e contrapositivos para mostrar as duas implicações de uma equivalência.

Passo 2

Prova de “se a é par, então para todo b\in\mathbb{Z}, ab é par”.<br>
Suponha a par. Então existe k\in\mathbb{Z} tal que
a = 2k.
Seja agora b\in\mathbb{Z} arbitrário. Então
ab = (2k)\,b = 2\,(k b),
e como k b\in\mathbb{Z}, concluímos que ab é par. Logo,
a\text{ par} \;\Longrightarrow\; \bigl(\forall b\in\mathbb{Z},\,ab\text{ é par}\bigr).é

Passo 3

Prova de “se para todo b\in\mathbb{Z}, ab é par, então a é par”.<br>
Em vez de provar diretamente, usamos a contrapositive: mostramos que “se a não é par (isto é, a é ímpar), então não é verdade que para todo b o produto ab seja par”.<br>
Suponha a ímpar. Então existe m\in\mathbb{Z} tais que
a = 2m + 1.
Escolha b=1. Então
ab = a\cdot1 = 2m+1,
que é ímpar. Isso prova que não vale \forall b\\ (ab é par ). Assim,
\neg\bigl(\forall b\in\mathbb{Z},\,ab\text{ é par}\bigr) \;\Longrightarrow\; \neg\bigl(a\text{ par}\bigr),é
e, por contraposição,
\bigl(\forall b\in\mathbb{Z},\,ab\text{ é par}\bigr) \;\Longrightarrow\; a\text{ par}.é

Resposta

Portanto, combinando os dois passos, concluímos que, para todo a\in\mathbb{Z},
a\text{ é par}\;\Longleftrightarrow\;\bigl(\forall b\in\mathbb{Z},\,ab\text{ é par}\bigr).éé

Exercícios relacionados