Prove que, se a força atuante sobre uma partícula é dada por F=-nabla U, então o trabalho total realizado ao mover a partícula de P1 a P2, ao longo de uma trajetória C é
W=integralP1^P2 F cdot d r=U(P1)-U(P2)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão trata de trabalho realizado por uma força conservativa. A força está definida por , onde é a energia potencial. Nosso objetivo é mostrar que o trabalho feito ao mover a partícula de para ao longo de um caminho é igual a . Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de cálculo vetorial, como gradiente e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar , denotado por , é um vetor que aponta na direção de maior variação de e seu módulo é a taxa de variação nessa direção. Então, significa que a força está na direção de menor variação de , ou seja, é uma força conservativa.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular o trabalho W = integralC F cdot dr realizado por uma força ao longo de um caminho. O trabalho é dado pela integral de linha:
onde é a força e é um elemento infinitesimal do deslocamento ao longo do caminho .

Passo 4

Substituindo a força W = integralC (-nabla U) cdot dr pela expressão dada W = -integralC nabla U cdot dr , temos:
Podemos tirar o sinal negativo para fora da integral:

Passo 5

A integral integralC nabla U cdot dr = U(P2) - U(P1) é uma integral de linha que, para uma função escalar , é igual à diferença do valor de nas extremidades do caminho. Isso vem do Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha, que diz que:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão do trabalho:
W = -[ U(P2) - U(P1) ] = U(P1) - U(P2)

Resposta

W = U(P1) - U(P2)

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