Prove que, se a força atuante sobre uma partícula é dada por
, então o trabalho total realizado ao mover a partícula de
a
, ao longo de uma trajetória
é
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão trata de trabalho realizado por uma força conservativa. A força está definida por
, onde
é a energia potencial. Nosso objetivo é mostrar que o trabalho
feito ao mover a partícula de
para
ao longo de um caminho
é igual a
. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de cálculo vetorial, como gradiente e integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar
, denotado por
, é um vetor que aponta na direção de maior variação de
e seu módulo é a taxa de variação nessa direção. Então,
significa que a força está na direção de menor variação de
, ou seja, é uma força conservativa.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como calcular o trabalho
realizado por uma força ao longo de um caminho. O trabalho é dado pela integral de linha:
onde
é a força e
é um elemento infinitesimal do deslocamento ao longo do caminho
.
Passo 4
Substituindo a força
pela expressão dada
, temos:
Podemos tirar o sinal negativo para fora da integral:
Passo 5
A integral
é uma integral de linha que, para uma função escalar
, é igual à diferença do valor de
nas extremidades do caminho. Isso vem do Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha, que diz que:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão do trabalho: