Prove que se uma função
é analítica em todo o plano finito, exceto por uma quantidade finita de singularidades no interior de um caminho fechado simples
orientado positivamente, então:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo! Temos uma função
que é analítica em todo o plano complexo, exceto por algumas singularidades dentro de um caminho fechado simples
que é orientado positivamente. O objetivo é provar que a integral de
ao longo de
é igual a
vezes o resíduo de
em
.
Vamos precisar entender conceitos como funções analíticas, singularidades, contornos fechados, e o Teorema dos Resíduos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema dos Resíduos. Esse teorema nos diz que se temos uma função que é analítica dentro e sobre um contorno fechado, exceto por um número finito de pontos onde a função tem singularidades (pontos onde ela não é definida ou não é analítica), então a integral dessa função ao redor do contorno é igual a
vezes a soma dos resíduos da função nesses pontos de singularidade.
Matematicamente:
onde
são as singularidades dentro de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o que precisamos provar:
Queremos relacionar a integral de
sobre
com o resíduo de uma outra função transformada em
.
Passo 4
Para fazer isso, vamos usar a substituição inversa. Isso significa que vamos fazer uma mudança de variável onde
. Com essa substituição, quando
circula o contorno
no sentido positivo,
também circula um novo contorno
no sentido positivo ao redor de
.
Vamos reescrever a integral usando essa substituição.
Passo 5
Calculando a diferencial
em termos de
:
Passo 6
Substituindo
e
na integral original:
Passo 7
Note que o contorno
está orientado positivamente em torno de
. Agora, aplicando o Teorema dos Resíduos a essa nova integral:
Passo 8
Voltando à expressão anterior:
Mas como fizemos a substituição
, podemos renomear
de volta para
(já que é apenas uma variável de integração). Então temos:
Resposta
Provamos que: