Prove que se uma função f é analítica em todo o plano finito, exceto por uma quantidade finita de singularidades no interior de um caminho fechado simples C orientado positivamente, então:
integralC f(z) d z=2 pi i undersetz=0Res[1z^2 f(1z)]

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo! Temos uma função que é analítica em todo o plano complexo, exceto por algumas singularidades dentro de um caminho fechado simples que é orientado positivamente. O objetivo é provar que a integral de ao longo de é igual a vezes o resíduo de em .
Vamos precisar entender conceitos como funções analíticas, singularidades, contornos fechados, e o Teorema dos Resíduos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema dos Resíduos. Esse teorema nos diz que se temos uma função que é analítica dentro e sobre um contorno fechado, exceto por um número finito de pontos onde a função tem singularidades (pontos onde ela não é definida ou não é analítica), então a integral dessa função ao redor do contorno é igual a integralC f(z) dz = 2pi i sum Res(f, zk) vezes a soma dos resíduos da função nesses pontos de singularidade.
Matematicamente:
onde são as singularidades dentro de .

Passo 3

Agora, vamos analisar o que precisamos provar:
integralC f(z) dz = 2pi i , Res(1z^2 f(1z), 0)
Queremos relacionar a integral de sobre com o resíduo de uma outra função transformada em .

Passo 4

Para fazer isso, vamos usar a substituição inversa. Isso significa que vamos fazer uma mudança de variável onde . Com essa substituição, quando circula o contorno no sentido positivo, também circula um novo contorno no sentido positivo ao redor de .
Vamos reescrever a integral usando essa substituição.

Passo 5

Calculando a diferencial w = 1z implies z = 1w implies dz = -1w^2 dw em termos de :

Passo 6

Substituindo integralC f(z) dz = integralC' f(1w) (-1w^2 dw) = -integralC' 1w^2 f(1w) dw e na integral original:

Passo 7

Note que o contorno integralC' 1w^2 f(1w) dw = 2pi i , Res(1w^2 f(1w), 0) está orientado positivamente em torno de . Agora, aplicando o Teorema dos Resíduos a essa nova integral:

Passo 8

Voltando à expressão anterior:
integralC f(z) dz = -2pi i , Res(1w^2 f(1w), 0)
Mas como fizemos a substituição integralC f(z) dz = 2pi i , Res(1z^2 f(1z), 0) , podemos renomear de volta para (já que é apenas uma variável de integração). Então temos:

Resposta

Provamos que:
integralC f(z) dz = 2pi i , Res(1z^2 f(1z), 0)

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