Prove que se f é uma função periódica de periódo t, então:
f(a x) é periódica de periódo \frac{t}{a}, para todo a \in \mathbb{R}-\{0\}.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função f que é periódica de período t. A tarefa é provar que, para todo a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}, a função definida por x\mapsto f(ax) também é periódica e que um período dela é \dfrac{t}{a}.
Informações relevantes fornecidas:
\,\, - f é periódica de período t, isto é, \forall x\in\mathbb{R}:\;f(x+t)=f(x).
\,\, - a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.
Pergunta que vamos responder: provar que g(x):=f(ax) é periódica e que \dfrac{t}{a} é um período (e comentar sobre o sinal caso a seja negativo).

Passo 2

Vamos lembrar a definição usada de forma clara e simples:
Uma função h é periódica de período T se vale \forall x\in\mathbb{R}:\;h(x+T)=h(x). Aqui T costuma ser tomado positivo, mas qualquer número T (positivo ou negativo) que satisfaça a igualdade acima é chamado de período; portanto também -T será período sempre que T for.
Definimos a função que queremos analisar: \;g(x):=f(ax). Note que a\neq0 garante que a expressão \dfrac{t}{a} está bem definida.

Passo 3

Façamos a verificação direta da condição de periodicidade para g usando a hipótese sobre f. Calculemos g deslocada por \dfrac{t}{a}:
g\!\left(x+\frac{t}{a}\right)=f\!\bigg(a\Big(x+\frac{t}{a}\Big)\bigg).
Agora simplificamos o argumento de f:
a\Big(x+\frac{t}{a}\Big)=ax + a\cdot\frac{t}{a}=ax+t.
Substituindo na expressão de g:
g\!\left(x+\frac{t}{a}\right)=f(ax+t).
Como f tem período t, sabemos que f(ax+t)=f(ax). Portanto
g\!\left(x+\frac{t}{a}\right)=f(ax)=g(x),
e isso vale para todo x\in\mathbb{R}. Assim mostramos diretamente que \dfrac{t}{a} é um número que satisfaz a igualdade exigida para período de g.

Passo 4

Comentário sobre o sinal (questão prática para a prova): se a>0 então \dfrac{t}{a} tem o mesmo sinal de t. Normalmente exigimos período positivo, então é comum tomar como período de g o número positivo
\left|\frac{t}{a}\right|.
Se a<0, a quantidade \dfrac{t}{a} é negativa, mas isso não é problema porque, como observado, se T é período então -T também é período; portanto g tem também \left|\dfrac{t}{a}\right|=-\dfrac{t}{a} como período positivo. Em suma, algebraicamente \dfrac{t}{a} funciona sempre, e para obter um período positivo podemos escolher \left|\dfrac{t}{a}\right|.

Passo 5

Observação sobre período fundamental (mínimo): mostramos que \dfrac{t}{a} é um período de g, mas isso não implica que seja o menor período positivo possível (o período fundamental de g pode ser um divisor de \left|\dfrac{t}{a}\right|). Para a questão pedida, basta provar que \dfrac{t}{a} é período, o que já foi feito no Passo 3.

Resposta

\dfrac{t}{a}

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