Prove as identidades vetoriais abaixo.
Produto vetorial triplo: \mathbf{A} imes( \mathbf{B} imes \mathbf{C})= \mathbf{B}( \mathbf{A} cdot \mathbf{C})- \mathbf{C}( \mathbf{A} cdot \mathbf{B})
Produto vetorial triplo: \mathbf{A} imes( \mathbf{B} imes \mathbf{C})= \mathbf{B}( \mathbf{A} cdot \mathbf{C})- \mathbf{C}( \mathbf{A} cdot \mathbf{B})
Passo 1
Enunciado claro do que se pede e os dados que temos.
- Pede-se para provar a identidade vetorial
- Informações dadas (implícitas):
são vetores em . A prova deve mostrar que os dois vetores à esquerda e à direita são iguais para qualquer escolha desses vetores.
Passo 2
Estratégia que vou usar (resumida e sem resolver ainda).
- Vou provar a identidade componente a componente: mostrar que para cada índice
vale
- Para trabalhar com componentes de produtos vetoriais é muito prático usar o símbolo de Levi-Civita
e o delta de Kronecker . Vou explicar o que são e uma identidade-chave que vou aplicar.
Passo 3
O que são
(Levi-Civita) e
(Kronecker) — mini-aula.
- Definição de
: é um número que vale se for uma permutação par de , vale se for permutação ímpar, e vale se algum índice se repetir. É totalmente antissimétrico (trocar dois índices muda de sinal). - Definição de
: é o “delta de Kronecker”, vale se e se . Serve como componente da matriz identidade; por exemplo, . - Como representar o produto vetorial em componentes: para vetores
e ,
onde há soma sobre índices repetidos (convenção de soma).
- Identidade útil (produto de dois
): para quaisquer índices vale
com soma sobre
. Esta identidade é padrão e pode ser verificada examinando os poucos casos possíveis (se índices coincidem, repetem-se zeros; para pares distintos reproduz valores
conforme a permutação). Ela transforma um produto de dois símbolos totalmente antissimétricos em combinações de deltas, o que permite simplificar expressões com dois produtos vetoriais.
Passo 4
Escrever a componente
-ésima do lado esquerdo usando
e expandir.
- Começo pela componente
de :
- Agora substituo
pela sua expressão em :
- Juntando:
- Note que há soma sobre
quando índices se repetem.
Passo 5
Aplicar a identidade
e simplificar.
- Usando a identidade (soma sobre
),
- Substituindo na expressão do passo anterior:
- Agora aplico os deltas (cada
identifica índices): - No primeiro termo
: faz e faz . Assim o primeiro termo fica . - No segundo termo
: faz e faz . Assim o segundo termo fica .
- No primeiro termo
- Portanto
Passo 6
Reescrever os termos finais como produtos escalares e concluir a igualdade vetorial.
- Observe que
é exatamente o produto escalar e é . Assim
- Esta igualdade vale para cada componente
. Quando todas as componentes coincidem, os vetores coincidem. Logo,