Prove as identidades vetoriais abaixo.
Produto vetorial triplo: \mathbf{A} imes( \mathbf{B} imes \mathbf{C})= \mathbf{B}( \mathbf{A} cdot \mathbf{C})- \mathbf{C}( \mathbf{A} cdot \mathbf{B})

Passo 1

Enunciado claro do que se pede e os dados que temos.
  • Pede-se para provar a identidade vetorial
\mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C})=\mathbf{B}\,(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C})-\mathbf{C}\,(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}).
  • Informações dadas (implícitas): \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} são vetores em \mathbb{R}^3. A prova deve mostrar que os dois vetores à esquerda e à direita são iguais para qualquer escolha desses vetores.

Passo 2

Estratégia que vou usar (resumida e sem resolver ainda).
  • Vou provar a identidade componente a componente: mostrar que para cada índice i\in\{1,2,3\} vale
\big(\mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C})\big)_i = \big(\mathbf{B}\,(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C})-\mathbf{C}\,(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})\big)_i.
  • Para trabalhar com componentes de produtos vetoriais é muito prático usar o símbolo de Levi-Civita \varepsilon_{ijk} e o delta de Kronecker \delta_{ij}. Vou explicar o que são e uma identidade-chave que vou aplicar.

Passo 3

O que são \varepsilon_{ijk} (Levi-Civita) e \delta_{ij} (Kronecker) — mini-aula.
  • Definição de \varepsilon_{ijk}: é um número que vale +1 se (i,j,k) for uma permutação par de (1,2,3), vale -1 se for permutação ímpar, e vale 0 se algum índice se repetir. É totalmente antissimétrico (trocar dois índices muda de sinal).
  • Definição de \delta_{ij}: é o “delta de Kronecker”, vale 1 se i=j e 0 se i\neq j. Serve como componente da matriz identidade; por exemplo, \sum_j \delta_{ij} v_j = v_i.
  • Como representar o produto vetorial em componentes: para vetores \mathbf{X} e \mathbf{Y},
(\mathbf{X}\times\mathbf{Y})_i = \varepsilon_{ijk} X_j Y_k,
onde há soma sobre índices repetidos (convenção de soma).
  • Identidade útil (produto de dois \varepsilon): para quaisquer índices i,j,l,m vale
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl},
com soma sobre k. Esta identidade é padrão e pode ser verificada examinando os poucos casos possíveis (se índices coincidem, repetem-se zeros; para pares distintos reproduz valores \pm1 conforme a permutação). Ela transforma um produto de dois símbolos totalmente antissimétricos em combinações de deltas, o que permite simplificar expressões com dois produtos vetoriais.

Passo 4

Escrever a componente i-ésima do lado esquerdo usando \varepsilon e expandir.
  • Começo pela componente i de \mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C}):
\big(\mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C})\big)_i = \varepsilon_{ijk}\,A_j\,(\mathbf{B}\times\mathbf{C})_k.
  • Agora substituo (\mathbf{B}\times\mathbf{C})_k pela sua expressão em \varepsilon:
(\mathbf{B}\times\mathbf{C})_k = \varepsilon_{klm}\,B_l\,C_m.
  • Juntando:
\big(\mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C})\big)_i = \varepsilon_{ijk}\,A_j\,\varepsilon_{klm}\,B_l\,C_m.
  • Note que há soma sobre j,k,l,m quando índices se repetem.

Passo 5

Aplicar a identidade \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl} e simplificar.
  • Usando a identidade (soma sobre k),
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}.
  • Substituindo na expressão do passo anterior:
\big(\mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C})\big)_i = (\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})\,A_j\,B_l\,C_m.
  • Agora aplico os deltas (cada \delta identifica índices):
    • No primeiro termo \delta_{il}\delta_{jm}A_jB_lC_m: \delta_{il} faz l\mapsto i e \delta_{jm} faz m\mapsto j. Assim o primeiro termo fica A_j B_i C_j.
    • No segundo termo \delta_{im}\delta_{jl}A_jB_lC_m: \delta_{im} faz m\mapsto i e \delta_{jl} faz l\mapsto j. Assim o segundo termo fica A_j B_j C_i.
  • Portanto
\big(\mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C})\big)_i = A_j B_i C_j - A_j B_j C_i.

Passo 6

Reescrever os termos finais como produtos escalares e concluir a igualdade vetorial.
  • Observe que A_j C_j é exatamente o produto escalar \mathbf{A}\cdot\mathbf{C} e A_j B_j é \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}. Assim
\big(\mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C})\big)_i = B_i\,(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}) - C_i\,(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}).
  • Esta igualdade vale para cada componente i. Quando todas as componentes coincidem, os vetores coincidem. Logo,
\mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) = \mathbf{B}\,(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}) - \mathbf{C}\,(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}).

Resposta

\mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C})=\mathbf{B}\,(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C})-\mathbf{C}\,(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})

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