Prove as igualdades abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3^{n-1}}=3 ;

Passo 1

O enunciado pede para provar que a série infinita
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3^{n-1}} = 3.
O conteúdo envolvido é o de séries geométricas infinitas, cuja soma, quando a razão \lvert r\rvert<1, é dada por
\sum_{k=0}^\infty ar^k = \frac{a}{1-r}.
Aqui vamos precisar reindexar a soma para colocá-la na forma padrão de uma série geométrica.

Passo 2

Reindexamos definindo k = n-1. Quando n vai de 1 até \infty, k vai de 0 até \infty. Cada termo fica
\frac{2}{3^{n-1}} = 2\Bigl(\frac{1}{3}\Bigr)^k.
Logo,
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3^{n-1}} = 2 \sum_{k=0}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{3}\Bigr)^k.

Passo 3

Reconhecemos agora a soma
\sum_{k=0}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{3}\Bigr)^k
como uma série geométrica infinita com primeiro termo a=1 e razão r=\tfrac13. Como \lvert r\rvert = \tfrac13 <1, podemos usar a fórmula
\sum_{k=0}^\infty r^k = \frac{1}{1-r}.

Passo 4

Aplicando a fórmula da série geométrica ao fator reindexado, temos
2 \sum_{k=0}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{3}\Bigr)^k = 2 \cdot \frac{1}{1-\tfrac{1}{3}} = 2 \cdot \frac{1}{\tfrac{2}{3}} = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3.

Resposta

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3^{n-1}} = 3.