Prove por indução:
c) (\forall n \in \mathbb{N})\left(12 \mid\left(35 \cdot 9^{n}-3\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando indução, que para todo n\in\mathbb{N} vale
12 \mid \bigl(35\cdot 9^n - 3\bigr).
Isso é um típico problema de divisibilidade por indução: vamos verificar um caso base em n=1 e depois fazer o passo indutivo.

Passo 2

Caso base ( n=1):
Calculemos
35\cdot 9^1 - 3 = 35\cdot 9 - 3 = 315 - 3 = 312.
Como 312 = 12 \times 26, concluímos que 12\mid(35\cdot9^1 -3). Portanto, o caso base é verdadeiro.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para um certo k\ge1 já tenhamos
12 \mid \bigl(35\cdot 9^k - 3\bigr),
ou seja, existe um inteiro m tal que
35\cdot 9^k - 3 = 12m.

Passo 4

Passo indutivo ( n=k+1):
Começamos com a expressão para k+1:
35\cdot9^{\,k+1} - 3 = 35\cdot9\cdot 9^k - 3 = 9\,(35\cdot9^k) - 3.
Separe-o em duas parcelas:
9\,(35\cdot9^k) - 3 =9\bigl(35\cdot9^k - 3\bigr) + \bigl(9\cdot3 - 3\bigr) =9\bigl(35\cdot9^k - 3\bigr) + 27 - 3 =9\bigl(35\cdot9^k - 3\bigr) + 24.
Pela hipótese de indução, 35\cdot9^k - 3 = 12m, logo
9\bigl(35\cdot9^k - 3\bigr) = 9\cdot(12m) = 108m,
que é múltiplo de 12, e 24 também é múltiplo de 12. Assim a soma
108m + 24
é múltiplo de 12. Concluímos que
12 \mid \bigl(35\cdot9^{\,k+1} -3\bigr),
completando o passo indutivo.

Resposta

Por indução, fica provado que para todo n\in\mathbb{N} temos
12 \mid \bigl(35\cdot9^n - 3\bigr).