Prove por indução:
d) \left(\forall n \in \mathbb{N}_{0}\right)\left(7 \mid\left(72^{n}-37^{n}\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando indução em n, que para todo n\in\mathbb{N}_{0} vale:
7 \mid \bigl(72^{n} - 37^{n}\bigr).
O conteúdo é o princípio da indução matemática.

Passo 2

Base da indução ( n=0):
72^{0} - 37^{0} = 1 - 1 = 0,
e 0 é múltiplo de 7. Logo, a propriedade é verdadeira em n=0.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum k\ge0 já se tenha
7 \mid \bigl(72^{k} - 37^{k}\bigr).
Queremos mostrar que então
7 \mid \bigl(72^{k+1} - 37^{k+1}\bigr).

Passo 4

Analisamos
72^{k+1} - 37^{k+1} = 72\cdot 72^{k} - 37\cdot 37^{k} = 72\cdot 72^{k} - 37\cdot 72^{k} + 37\cdot 72^{k} - 37\cdot 37^{k}.
Agrupando:
72^{k+1} - 37^{k+1} = (72 - 37)\,72^{k} \;+\; 37\bigl(72^{k} - 37^{k}\bigr).
Como 72 - 37 = 35 é múltiplo de 7 e, pela hipótese de indução, 7\mid\bigl(72^{k}-37^{k}\bigr), cada um dos dois termos do lado direito é múltiplo de 7. Portanto
7 \mid \bigl(72^{k+1} - 37^{k+1}\bigr).

Passo 5

Pelo princípio da indução, a propriedade vale para todo n\in\mathbb{N}_{0}.

Resposta

Para todo n\in\mathbb{N}_{0}, 7 divide 72^{n} - 37^{n}.

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