Prove que para quaisquer conjuntos
e
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para quaisquer conjuntos
e
,
Aqui vamos usar a definição de diferença de conjuntos e de interseção:
-
significa e . -
significa e .
Passo 2
Prova de
. Seja
um elemento qualquer tal que
Pela definição de diferença, isso implica
Mas
significa negar “
e
”, ou seja,
Como já temos
, a única possibilidade é
. Logo
e
, ou seja,
Assim mostramos
.
Passo 3
Prova de
. Seja
tal que
Então
e
. Para ver que
, precisamos checar que
. Mas
significa que não ocorre simultaneamente “
e
”. Como de fato
, não pode ser que
. Portanto
. Juntando com
, concluímos
Isso mostra
.
Resposta
Pelo duplo contido, temos