Prove que em qualquer poliedro euleriano, a soma do número de faces triangulares com o número de triedros é superior ou igual a 8.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num poliedro convexo (ou seja, um grafo planar 3-conexo), se denotarmos por f_3 o número de faces triangulares e por v_3 o número de vértices de grau 3 (triedros), então
f_3 + v_3 \;\ge\; 8.
Para isso vamos usar a fórmula de Euler
V - E + F = 2
e as contagens de mãos-dadas (handshaking) para arestas em faces e em vértices.

Passo 2

Definimos
f_i = \text{número de faces de \(i\) lados}, \qquad v_j = \text{número de vértices de grau \(j\)},úúé
de modo que
F \;=\;\sum_{i\ge3} f_i, \quad V \;=\;\sum_{j\ge3} v_j.
Como cada face de i lados contribui com i incidências de aresta e cada vértice de grau j contribui com j incidências, temos
\sum_{i\ge3} i\,f_i \;=\; 2E \;=\;\sum_{j\ge3} j\,v_j.

Passo 3

Vamos combinar essas somas com Euler. Observe que
6(V - E + F) \;=\; 12
e, por outro lado,
\sum_{i\ge3}(i-6)\,f_i \;+\;\sum_{j\ge3}(2j-6)\,v_j \;=\;\sum_{i\ge3}i\,f_i \;-\;6\sum_{i\ge3}f_i \;+\;2\sum_{j\ge3}j\,v_j\;-\;6\sum_{j\ge3}v_j.
Mas usamos \sum i f_i=2E e \sum j v_j=2E e F=\sum f_i, V=\sum v_j, daí
\sum_{i\ge3}(i-6)\,f_i + \sum_{j\ge3}(2j-6)\,v_j =2E -6F +2E -6V =6(V - E + F) =12.
Portanto
\sum_{i\ge3}(i-6)\,f_i \;+\;\sum_{j\ge3}(2j-6)\,v_j \;=\;12.

Passo 4

Agora examinamos os coeficientes:
  • Para faces, (i-6)\ge -3 se i=3, \ge-2 se i=4, \ge-1 se i=5, e \ge0 se i\ge6.
  • Para vértices, (2j-6)\ge0 para todo j\ge3 (pois em um poliedro convexo não há vértices de grau menor que 3).
Daí
\sum_{i\ge3}(i-6)\,f_i \;\ge\; -3f_3 \;-\;2f_4 \;-\;1f_5, \qquad \sum_{j\ge3}(2j-6)\,v_j \;\ge\;0.
Logo, da igualdade do passo anterior vem
12 \;=\; \sum_{i\ge3}(i-6)\,f_i +\sum_{j\ge3}(2j-6)\,v_j \;\ge\; -3f_3 -2f_4 -f_5,
isto é,
3f_3 +2f_4 +f_5 \;\ge\;12.

Passo 5

Agora aplicamos o mesmo argumento ao poliedro dual. No dual, faces e vértices trocam de papel, e valem as mesmas contagens. Chamando de f'_i e v'_j as faces e vértices do dual, somos levados a
3\,v_3 +2\,v_4 +v_5 \;\ge\;12
(no dual f'_i=v_i e v'_j=f_j).

Passo 6

Somando
\bigl(3f_3 +2f_4 +f_5\bigr) + \bigl(3v_3 +2v_4 +v_5\bigr) \;\ge\; 12 +12 =24
e reorganizando:
3(f_3 + v_3)\;+\;2(f_4 + v_4)\;+\;(f_5 + v_5)\;\ge\;24.

Passo 7

Como f_k\ge0 e v_k\ge0 para todo k, em particular f_4+v_4\ge0 e f_5+v_5\ge0. Desprezando esses termos não-negativos, obtemos
3(f_3 + v_3)\;\ge\;24 \quad\Longrightarrow\quad f_3 + v_3\;\ge\;8.

Resposta

Em qualquer poliedro euleriano vale
\boxed{f_3 + v_3 \;\ge\; 8.}

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