Prove que em qualquer poliedro euleriano, a soma do número de faces triangulares com o número de triedros é superior ou igual a 8.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num poliedro convexo (ou seja, um grafo planar 3-conexo), se denotarmos por
o número de faces triangulares e por
o número de vértices de grau 3 (triedros), então
Para isso vamos usar a fórmula de Euler
e as contagens de mãos-dadas (handshaking) para arestas em faces e em vértices.
Passo 2
Definimos
de modo que
Como cada face de
lados contribui com
incidências de aresta e cada vértice de grau
contribui com
incidências, temos
Passo 3
Vamos combinar essas somas com Euler. Observe que
e, por outro lado,
Mas usamos
e
e
,
, daí
Portanto
Passo 4
Agora examinamos os coeficientes:
- Para faces,
se , se , se , e se . - Para vértices,
para todo (pois em um poliedro convexo não há vértices de grau menor que 3).
Daí
Logo, da igualdade do passo anterior vem
isto é,
Passo 5
Agora aplicamos o mesmo argumento ao poliedro dual. No dual, faces e vértices trocam de papel, e valem as mesmas contagens. Chamando de
e
as faces e vértices do dual, somos levados a
(no dual
e
).
Passo 6
Somando
e reorganizando:
Passo 7
Como
e
para todo
, em particular
e
. Desprezando esses termos não-negativos, obtemos
Resposta
Em qualquer poliedro euleriano vale