Prove as seguintes relações para um fluido simples:
\left(\frac{\partial H}{\partial V}\right)_{T, N}=\frac{T \alpha-1}{\kappa_{T}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos à mão:
  • Pede-se provar a relação \left(\frac{\partial H}{\partial V}\right)_{T,N}=\frac{T\alpha-1}{\kappa_{T}}.
  • Informações / definições fornecidas ou usuais para um fluido simples (com N fixo):
    • Entalpia: H=U+PV.
    • Diferencial da entalpia (para N fixo): dH=T\,dS+V\,dP.
    • Coeficiente de dilatação térmica (à pressão constante): \alpha=\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P,N}.
    • Compressibilidade isotérmica: \kappa_{T}=-\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{T,N}.
    • Maxwell relevante (obtida a partir de G(T,P,N) com dG=-S\,dT+V\,dP+\mu\,dN): \left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_{T,N}=-\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P,N}.

Passo 2

Calcular \left(\dfrac{\partial H}{\partial P}\right)_{T,N} a partir de dH.
A partir de dH=T\,dS+V\,dP, fixando T e N (ou seja, dT=0), temos variação de H com P:
\left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_{T,N} = T\left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_{T,N} + V.
Usando a relação de Maxwell indicada,
\left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_{T,N} = -\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P,N},
obtém-se
\left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_{T,N} = V - T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P,N}.

Passo 3

Expressar \left(\dfrac{\partial H}{\partial V}\right)_{T,N} via regra da cadeia.
Trate H como função de (T,P) e P como função de (T,V). Mantendo T fixo,
\left(\frac{\partial H}{\partial V}\right)_{T,N} = \left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_{T,N}\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{T,N}.

Passo 4

Expressar \left(\dfrac{\partial P}{\partial V}\right)_{T,N} em termos de \kappa_{T}.
Da definição de \kappa_{T},
\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{T,N} = -V\kappa_{T}.
Invertendo a derivada (assumindo regularidade),
\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{T,N} = \frac{1}{\left(\dfrac{\partial V}{\partial P}\right)_{T,N}} = -\frac{1}{V\kappa_{T}}.

Passo 5

Juntar tudo e usar a definição de \alpha.
Substituindo o resultado do Passo 2 e do Passo 4 na expressão do Passo 3:
\left(\frac{\partial H}{\partial V}\right)_{T,N} = \biggl(V - T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P,N}\biggr)\left(-\frac{1}{V\kappa_{T}}\right).
Fatorando e simplificando:
\left(\frac{\partial H}{\partial V}\right)_{T,N} = -\frac{V - T\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_{P,N}}{V\kappa_{T}} = \frac{T\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_{P,N} - V}{V\kappa_{T}}.
Agora usar \alpha=\dfrac{1}{V}\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_{P,N}, então \left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_{P,N}=V\alpha. Substituindo:
\left(\frac{\partial H}{\partial V}\right)_{T,N} = \frac{T(V\alpha) - V}{V\kappa_{T}} = \frac{V(T\alpha - 1)}{V\kappa_{T}} = \frac{T\alpha - 1}{\kappa_{T}}.

Resposta

\left(\dfrac{\partial H}{\partial V}\right)_{T,N}=\dfrac{T\alpha-1}{\kappa_{T}}

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