Prove que, se
é uma aplicação linear definida por
e
, então $T^{2}=T.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede algo claro:
- Dado
é uma aplicação linear. - Para todo
vale , onde é um vetor fixo em . - Além disso foi informado que
, isto é, . - O que precisamos provar:
(isto é, como operadores em ).
Passo 2
Lembrando algumas propriedades úteis (pequena revisão didática):
- Para qualquer aplicação linear
vale sempre . Uma prova curta: , daí subtraindo obtemos . - A definição de
é . Se um vetor pertence ao núcleo então ele é levado ao vetor zero por .
Vamos usar essas observações no caso concreto.
Passo 3
Usando linearidade de
e a fórmula dada, calcule
de duas maneiras e compare:
- Pela linearidade temos
. - Pela definição
, tomando obtemos .
Comparando as duas expressões de
segue que
.
(Comentário didático: essa é a forma mais direta—como
é linear obrigatoriamente
, e a expressão
força
a ser o vetor zero.)
Passo 4
Uma verificação alternativa, que ilustra o uso da hipótese
:
- Como
temos . - Pela fórmula
. Então . - Como estamos em
(campo de característica zero), implica .
As duas abordagens chegam à mesma conclusão:
.
Passo 5
Com
a aplicação fica simplesmente
para todo
. Ou seja,
é a identidade
em
.
Agora calcule
agindo em um vetor arbitrário
:
Como isso vale para todo
, obtemos
(pois ambos operadores coincidem em todos os vetores).
Passo 6
Observação final (didática e útil para provas): a razão essencial da demonstração foi que a combinação das duas hipóteses (linearidade de
e a fórmula
) força
. Em corpos de característica
a segunda via (usar
) não permitiria concluir
; porém aqui estamos em
, então tudo está OK.