Prove that if a subsequence of a Cauchy sequence converges, then so does the original Cauchy sequence.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Foi dada uma sequência \{x_n\}_{n=1}^{\infty} que é Cauchy.
  • Foi dada uma subsequência \{x_{n_k}\}_{k=1}^{\infty} que converge para algum limite L; isto é, \lim_{k\to\infty} x_{n_k}=L.
  • O que precisamos provar: mostrar que a sequência inteira \{x_n\} também converge, e que o seu limite é L.

Passo 2

Definições importantes (explicadas de forma simples):
  • Definição de sequência Cauchy: \{x_n\} é Cauchy se, para todo \varepsilon>0, existe N tal que para todos m,n\ge N vale
|x_m-x_n|<\varepsilon.
Isto significa que os termos da sequência ficam arbitrariamente próximos uns dos outros quando n,m são suficientemente grandes.
  • Definição de convergência (para um limite L): \{x_n\} converge para L se, para todo \varepsilon>0, existe N tal que, para todo n\ge N,
|x_n-L|<\varepsilon.
Isto significa que os termos da sequência ficam arbitrariamente próximos do número L quando n é grande.

Passo 3

Ideia do método (intuição antes da técnica):
  • Temos que os termos da subsequência ficam próximos de L para k grande.
  • Como a sequência é Cauchy, qualquer termo x_n para n grande fica próximo de qualquer termo x_m também para m grande.
  • Então, para n grande, podemos escolher um termo da subsequência que também seja com índice grande; esse termo da subsequência está perto de L e, por Cauchy, também está perto de x_n. Pela desigualdade triangular, x_n ficará perto de L.
  • Usaremos a clássica técnica do \varepsilon/2 para transformar essas ideias em uma prova rigorosa.

Passo 4

Começando a prova formal com o truque \varepsilon/2.
Seja um \varepsilon>0 arbitrário (queremos mostrar que existe um N tal que, para todo n\ge N, |x_n-L|<\varepsilon).
Pela convergência da subsequência \{x_{n_k}\} para L, existe K\in\mathbb{N} tal que, para todo k\ge K,
|x_{n_k}-L|<\frac{\varepsilon}{2}.
Como \{x_n\} é Cauchy, existe N_1\in\mathbb{N} tal que, para todos m,n\ge N_1,
|x_m-x_n|<\frac{\varepsilon}{2}.

Passo 5

Escolhendo um índice final N e explicando como garantir as duas desigualdades anteriores simultaneamente.
  • Note que os índices da subsequência n_k formam uma sequência estritamente crescente com n_k\to\infty. Em particular, existe n_K (o K-ésimo índice da subsequência).
  • Defina
N=\max\{N_1,\,n_K\}.
  • Vou mostrar que para todo n\ge N vale |x_n-L|<\varepsilon.

Passo 6

Para um n\ge N fixo, escolhemos um termo da subsequência que tenha índice pelo menos n e pelo menos n_K (isso é sempre possível porque n_k\to\infty). Mais precisamente:
  • Como n_k\to\infty, existe k com n_k\ge n. Tomando esse k suficientemente grande, podemos também garantir k\ge K. Portanto existe k\ge K tal que n_k\ge n.
  • Então tanto n quanto n_k são maiores ou iguais a N_1 (porque n\ge N\ge N_1 e n_k\ge n\ge N\ge N_1). Assim podemos aplicar a propriedade de Cauchy:
|x_n-x_{n_k}|<\frac{\varepsilon}{2}.
  • Além disso, como k\ge K, pela convergência da subsequência tem-se
|x_{n_k}-L|<\frac{\varepsilon}{2}.

Passo 7

Aplicando a desigualdade triangular para juntar as duas desigualdades:
|x_n-L| \le |x_n-x_{n_k}| + |x_{n_k}-L| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
Portanto, mostramos que para todo n\ge N vale |x_n-L|<\varepsilon.

Passo 8

Conclusão final do argumento:
  • Como \varepsilon>0 era arbitrário e para ele encontramos N tal que, para todo n\ge N, |x_n-L|<\varepsilon, segue que \lim_{n\to\infty} x_n = L.
  • Em palavras simpáticas: se uma subsequência tende a L e a sequência inteira é Cauchy (ou seja, seus termos grandes ficam entre si muito próximos), então toda a sequência é forçada a se aproximar de L também.

Resposta

A sequência (x_n) converge para L, isto é, \lim_{n\to\infty} x_n = L.