Prove that if a subsequence of a Cauchy sequence converges, then so does the original Cauchy sequence.
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede:
- Foi dada uma sequência
que é Cauchy. - Foi dada uma subsequência
que converge para algum limite ; isto é, . - O que precisamos provar: mostrar que a sequência inteira
também converge, e que o seu limite é .
Passo 2
Definições importantes (explicadas de forma simples):
- Definição de sequência Cauchy:
é Cauchy se, para todo , existe tal que para todos vale
Isto significa que os termos da sequência ficam arbitrariamente próximos uns dos outros quando
são suficientemente grandes.
- Definição de convergência (para um limite
): converge para se, para todo , existe tal que, para todo ,
Isto significa que os termos da sequência ficam arbitrariamente próximos do número
quando
é grande.
Passo 3
Ideia do método (intuição antes da técnica):
- Temos que os termos da subsequência ficam próximos de
para grande. - Como a sequência é Cauchy, qualquer termo
para grande fica próximo de qualquer termo também para grande. - Então, para
grande, podemos escolher um termo da subsequência que também seja com índice grande; esse termo da subsequência está perto de e, por Cauchy, também está perto de . Pela desigualdade triangular, ficará perto de . - Usaremos a clássica técnica do
para transformar essas ideias em uma prova rigorosa.
Passo 4
Começando a prova formal com o truque
.
Seja um arbitrário (queremos mostrar que existe um
tal que, para todo
,
).
Seja um
Pela convergência da subsequência
para
, existe
tal que, para todo
,
Como
é Cauchy, existe
tal que, para todos
,
Passo 5
Escolhendo um índice final
e explicando como garantir as duas desigualdades anteriores simultaneamente.
- Note que os índices da subsequência
formam uma sequência estritamente crescente com . Em particular, existe (o -ésimo índice da subsequência). - Defina
- Vou mostrar que para todo
vale .
Passo 6
Para um
fixo, escolhemos um termo da subsequência que tenha índice pelo menos
e pelo menos
(isso é sempre possível porque
). Mais precisamente:
- Como
, existe com . Tomando esse suficientemente grande, podemos também garantir . Portanto existe tal que . - Então tanto
quanto são maiores ou iguais a (porque e ). Assim podemos aplicar a propriedade de Cauchy:
- Além disso, como
, pela convergência da subsequência tem-se
Passo 7
Aplicando a desigualdade triangular para juntar as duas desigualdades:
Portanto, mostramos que para todo
vale
.
Passo 8
Conclusão final do argumento:
- Como
era arbitrário e para ele encontramos tal que, para todo , , segue que . - Em palavras simpáticas: se uma subsequência tende a
e a sequência inteira é Cauchy (ou seja, seus termos grandes ficam entre si muito próximos), então toda a sequência é forçada a se aproximar de também.
Resposta
A sequência
converge para
, isto é,
.