Prove, usando a definição, que o limite de cada função a seguir é o resulatdo indicado. \lim _{x \rightarrow 5} \frac{x}{2}=\frac{5}{2}
Passo 1
O enunciado pede que se prove, usando a definição de limite, que
\lim_{x\to 5}\frac{x}{2}=\frac{5}{2}.
Informações dadas:
A função é f(x)=\dfrac{x}{2}.
O ponto onde a variável se aproxima é x=5.
O valor limite indicado é L=\dfrac{5}{2}.
O objetivo é, portanto, mostrar que, segundo a definição epsilon–delta do limite, para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que 0<|x-5|<\delta implica \left|\dfrac{x}{2}-\dfrac{5}{2}\right|<\varepsilon.
Passo 2
Vou lembrar e explicar a definição epsilon–delta de forma simples e clara.
Definição (intuição e notação): dizer que
\lim_{x\to 5} f(x)=L
significa que, para qualquer tolerância desejada \varepsilon>0 (ou seja, por menor que seja a margem de erro que eu aceite sobre o valor de f(x)), consegue-se encontrar uma precisão \delta>0 na variável x tal que, se x estiver dentro de \delta de 5 (mas diferente de 5), então f(x) estará dentro de \varepsilon de L. Em símbolos:
\text{Para todo } \varepsilon>0 \text{ existe } \delta>0 \text{ tal que se } 0<|x-5|<\delta \text{ então } |f(x)-L|<\varepsilon.ã
Aqui:
\varepsilon é a margem permitida no valor da função;
\delta é a margem que imporemos na variável x;
0<|x-5|<\delta significa que x está próximo de 5, mas não igual a 5.
Passo 3
Agora aplico a definição ao caso concreto. Calculo a diferença em módulo entre f(x) e L:
Expliquei cada passo: primeiro coloquei os termos com denominador comum, depois usei a propriedade |a/b|=|a|/|b|.
Passo 4
A relação obtida mostra claramente como escolher \delta. Queremos que \left|\dfrac{x}{2}-\dfrac{5}{2}\right|<\varepsilon. Usando a expressão anterior, isso equivale a
\frac{1}{2}|x-5|<\varepsilon.
Multiplicando ambos os lados por 2 (que é positivo, portanto a desigualdade mantém o sentido), obtemos
|x-5|<2\varepsilon.
Portanto, uma escolha natural e simples é tomar
\delta = 2\varepsilon.
Note que se \varepsilon>0 então \delta=2\varepsilon>0, como exigido pela definição.
Passo 5
Agora apresento a prova formal no formato epsilon–delta, usando a escolha \delta=2\varepsilon.
Seja \varepsilon>0 arbitrário. Defina \delta=2\varepsilon (assim \delta>0). Suponha que x satisfaça 0<|x-5|<\delta. Então, pelas contas do Passo 3,
Assim 0<|x-5|<\delta implica \left|\dfrac{x}{2}-\dfrac{5}{2}\right|<\varepsilon. Como isso vale para todo \varepsilon>0 com a escolha correspondente de \delta, concluímos pela definição que
\lim_{x\to 5}\frac{x}{2}=\frac{5}{2}.
Passo 6
Dicas rápidas para a prova (pra você aplicar em outros exercícios):
Sempre comece escrevendo |f(x)-L| e tente escrevê-lo em termos de |x-a|. Aqui apareceu |f(x)-L|=\dfrac{1}{2}|x-5|, o que facilita muito.
Depois isole |x-a|< alguma expressão em \varepsilon e escolha \delta igual a essa expressão (ou o mínimo entre essa expressão e algum número positivo conveniente).
Verifique que \delta>0 quando \varepsilon>0.
Vai dar certo — você já tem a estratégia para funções lineares como essa. Força aí!