Prove, usando a definição, que o limite de cada função a seguir é o resulatdo indicado.
\lim _{x \rightarrow 5} \frac{x}{2}=\frac{5}{2}

Passo 1

O enunciado pede que se prove, usando a definição de limite, que
\lim_{x\to 5}\frac{x}{2}=\frac{5}{2}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{x}{2}.
  • O ponto onde a variável se aproxima é x=5.
  • O valor limite indicado é L=\dfrac{5}{2}.
    O objetivo é, portanto, mostrar que, segundo a definição epsilon–delta do limite, para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que 0<|x-5|<\delta implica \left|\dfrac{x}{2}-\dfrac{5}{2}\right|<\varepsilon.

Passo 2

Vou lembrar e explicar a definição epsilon–delta de forma simples e clara.
Definição (intuição e notação): dizer que
\lim_{x\to 5} f(x)=L
significa que, para qualquer tolerância desejada \varepsilon>0 (ou seja, por menor que seja a margem de erro que eu aceite sobre o valor de f(x)), consegue-se encontrar uma precisão \delta>0 na variável x tal que, se x estiver dentro de \delta de 5 (mas diferente de 5), então f(x) estará dentro de \varepsilon de L. Em símbolos:
\text{Para todo } \varepsilon>0 \text{ existe } \delta>0 \text{ tal que se } 0<|x-5|<\delta \text{ então } |f(x)-L|<\varepsilon.ã
Aqui:
  • \varepsilon é a margem permitida no valor da função;
  • \delta é a margem que imporemos na variável x;
  • 0<|x-5|<\delta significa que x está próximo de 5, mas não igual a 5.

Passo 3

Agora aplico a definição ao caso concreto. Calculo a diferença em módulo entre f(x) e L:
\left|\frac{x}{2}-\frac{5}{2}\right|.
Fatorando ou simplificando:
\left|\frac{x}{2}-\frac{5}{2}\right| = \left|\frac{x-5}{2}\right| = \frac{1}{2}|x-5|.
Expliquei cada passo: primeiro coloquei os termos com denominador comum, depois usei a propriedade |a/b|=|a|/|b|.

Passo 4

A relação obtida mostra claramente como escolher \delta. Queremos que \left|\dfrac{x}{2}-\dfrac{5}{2}\right|<\varepsilon. Usando a expressão anterior, isso equivale a
\frac{1}{2}|x-5|<\varepsilon.
Multiplicando ambos os lados por 2 (que é positivo, portanto a desigualdade mantém o sentido), obtemos
|x-5|<2\varepsilon.
Portanto, uma escolha natural e simples é tomar
\delta = 2\varepsilon.
Note que se \varepsilon>0 então \delta=2\varepsilon>0, como exigido pela definição.

Passo 5

Agora apresento a prova formal no formato epsilon–delta, usando a escolha \delta=2\varepsilon.
Seja \varepsilon>0 arbitrário. Defina \delta=2\varepsilon (assim \delta>0). Suponha que x satisfaça 0<|x-5|<\delta. Então, pelas contas do Passo 3,
\left|\frac{x}{2}-\frac{5}{2}\right|=\frac{1}{2}|x-5|.
Pelo tamanho de |x-5| temos
\frac{1}{2}|x-5|<\frac{1}{2}\delta=\frac{1}{2}\cdot 2\varepsilon=\varepsilon.
Assim 0<|x-5|<\delta implica \left|\dfrac{x}{2}-\dfrac{5}{2}\right|<\varepsilon. Como isso vale para todo \varepsilon>0 com a escolha correspondente de \delta, concluímos pela definição que
\lim_{x\to 5}\frac{x}{2}=\frac{5}{2}.

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (pra você aplicar em outros exercícios):
  • Sempre comece escrevendo |f(x)-L| e tente escrevê-lo em termos de |x-a|. Aqui apareceu |f(x)-L|=\dfrac{1}{2}|x-5|, o que facilita muito.
  • Depois isole |x-a|< alguma expressão em \varepsilon e escolha \delta igual a essa expressão (ou o mínimo entre essa expressão e algum número positivo conveniente).
  • Verifique que \delta>0 quando \varepsilon>0.
    Vai dar certo — você já tem a estratégia para funções lineares como essa. Força aí!

Resposta

\dfrac{5}{2}