Prove que z é real se z = z_barra;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A pergunta é: “Prove que é real se .” Isso significa que queremos mostrar que, se um número complexo é igual ao seu próprio conjugado, então ele não tem parte imaginária, ou seja, é um número real. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de números complexos, como a representação algébrica e o conjugado de um número complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como representamos um número complexo. Um número complexo pode ser escrito na forma:
Aqui, é a parte real e é a parte imaginária de , enquanto é a unidade imaginária, onde .

Passo 3

Agora, vamos entender o que é o conjugado de . O conjugado de um número complexo é dado por:
Isso significa que para obter o conjugado, mudamos o sinal da parte imaginária.

Passo 4

Segundo a hipótese da questão, . Substituindo as expressões que temos:

Passo 5

Agora, vamos comparar as duas expressões. A igualdade significa que as partes reais são iguais e as partes imaginárias também devem ser iguais. Vamos analisar cada parte:
  • Parte real: (isso sempre é verdade)
  • Parte imaginária:

Passo 6

Vamos focar na parte imaginária: . Para que isso seja verdadeiro, a única possibilidade é que , porque somente zero multiplicado por resulta em zero, que é igual a ele mesmo com sinal invertido.

Passo 7

Com , o número complexo fica:
Isso mostra que não tem parte imaginária e, portanto, é um número real.

Resposta

Portanto, se , então é real.

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