Prove que
é real se
;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A pergunta é: “Prove que
é real se
.” Isso significa que queremos mostrar que, se um número complexo é igual ao seu próprio conjugado, então ele não tem parte imaginária, ou seja, é um número real. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de números complexos, como a representação algébrica e o conjugado de um número complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como representamos um número complexo. Um número complexo
pode ser escrito na forma:
Aqui,
é a parte real e
é a parte imaginária de
, enquanto
é a unidade imaginária, onde
.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é o conjugado de
. O conjugado de um número complexo
é dado por:
Isso significa que para obter o conjugado, mudamos o sinal da parte imaginária.
Passo 4
Segundo a hipótese da questão,
. Substituindo as expressões que temos:
Passo 5
Agora, vamos comparar as duas expressões. A igualdade
significa que as partes reais são iguais e as partes imaginárias também devem ser iguais. Vamos analisar cada parte:
- Parte real:
(isso sempre é verdade) - Parte imaginária:
Passo 6
Vamos focar na parte imaginária:
. Para que isso seja verdadeiro, a única possibilidade é que
, porque somente zero multiplicado por
resulta em zero, que é igual a ele mesmo com sinal invertido.
Passo 7
Com
, o número complexo
fica:
Isso mostra que
não tem parte imaginária e, portanto, é um número real.
Resposta
Portanto, se
, então
é real.