(2,5 pt) Seja um cilindro isolante oco de raio interno b, raio externo a e comprimento L, cuja área de secção transversal se encontra no plano x-y no ponto (0,0) do sistema de coordenadas. O eixo do cilindo coincide com o eixo z. O cilindro possui uma densidade de cargas positivas dada pela relação \sigma=\kappa r, onde \kappa é uma constante dada em C / m^{5} e r é a distância radial medida a partir do centro do cilindro. Qual é vetor campo elétrico ( \vec{E} ) em um ponto situado a uma distância radial
r do eixo central do disco, sendo b<r<a e localizado nas coordenadas ( r, 0 ), em metros? Considere os versores positivos nas direções: horizontalmente para a direita e verticalmente para cima.

Passo 1

O enunciado pede: achar o vetor campo elétrico \vec{E} num ponto situado a uma distância radial \,r do eixo do cilindro, com b<r<a, localizado nas coordenadas (r,0).
Dados fornecidos: o cilindro é oco (material entre raio interno b e externo a), comprimento L, eixo ao longo de z. A densidade de carga é dada pela expressão \sigma=\kappa r, onde \kappa é uma constante (unidades fornecidas no enunciado) e r é a posição radial. O ponto de interesse está no plano x\!-\!y em (r,0). Queremos o vetor \vec{E} nesse ponto (direção positiva horizontal para a direita e vertical para cima).

Passo 2

Método escolhido: lei de Gauss. Porque o sistema tem simetria cilíndrica (distribuição depende só da distância radial ao eixo) e queremos o campo numa superfície coaxial — nesse caso a lei de Gauss permite obter E(r) diretamente integrando a carga contida num cilindro gaussiano de raio r. Não há dependência angular nem axial, então \vec{E} é radial e só depende de r.

Passo 3

Interpretação e elemento de volume: vamos interpretar a densidade dada como densidade volumétrica radial \rho(r)=\kappa r (essa é a hipótese natural para um isolante com densidade que varia com a distância radial). Para montar a carga contida até um raio r usamos o elemento de volume em coordenadas cilíndricas: um anel de espessura dr', comprimento L e circunferência 2\pi r' tem volume
dV = 2\pi r' L\,dr'.
Nesse anel a densidade é \rho(r')=\kappa r'.

Passo 4

Cálculo da carga total encapada pelo cilindro gaussiano de raio \,r (com b<r<a):
Q_{\text{enc}}=\int_{V_{\text{enc}}}\rho\,dV=\int_{r'=b}^{r} \kappa r' \cdot (2\pi r' L)\,dr' =2\pi\kappa L\int_{b}^{r} r'^2\,dr'.
Calcule a integral:
\int_{b}^{r} r'^2\,dr'=\left[\frac{r'^3}{3}\right]_{b}^{r}=\frac{r^3-b^3}{3}.
Portanto
Q_{\text{enc}}=\frac{2\pi\kappa L}{3}\,(r^3-b^3).

Passo 5

Aplicando a lei de Gauss: o fluxo elétrico pela superfície lateral do cilindro gaussiano de raio r e comprimento L é
\Phi=\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=E(r)\cdot(2\pi r L),
pois o campo é radial e constante sobre a superfície lateral (as tampas não contribuem porque o campo é radial). A lei de Gauss diz \Phi=Q_{\text{enc}}/\varepsilon_0. Igualando:
E(r)\,2\pi r L=\frac{1}{\varepsilon_0}\cdot\frac{2\pi\kappa L}{3}\,(r^3-b^3).
Cancele 2\pi L em ambos os lados e resolva para E(r):
E(r)=\frac{\kappa}{3\varepsilon_0}\,\frac{r^3-b^3}{r} =\frac{\kappa}{3\varepsilon_0}\!\left(r^2-\frac{b^3}{r}\right).

Passo 6

Direção do campo e forma vetorial: a direção é radial e, como a densidade é positiva, o campo aponta para fora do eixo (sentido + \hat{r}). No ponto (r,0) o versor radial \hat{r} coincide com o versor horizontal positivo \hat{\mathbf{i}} (para a direita). Portanto o vetor campo é
\vec{E}(r,0)=\frac{\kappa}{3\varepsilon_0}\!\left(r^2-\frac{b^3}{r}\right)\hat{\mathbf{i}}.
Aqui \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. Você pode checar: para r\downarrow b o termo -b^3/r dá um comportamento finito, e para r maior dentro do material o campo cresce com r^2 dominando — sentido físico consistente com mais carga contida à medida que aumentamos r.

Resposta

\displaystyle \vec{E}(r,0)=\frac{\kappa}{3\varepsilon_0}\!\left(r^2-\frac{b^3}{r}\right)\hat{\mathbf{i}}

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