(2,5 pt) Seja um cilindro isolante oco de raio interno
, raio externo
e comprimento
, cuja área de secção transversal se encontra no plano
no ponto
do sistema de coordenadas. O eixo do cilindo coincide com o eixo
. O cilindro possui uma densidade de cargas positivas dada pela relação
, onde
é uma constante dada em
e
é a distância radial medida a partir do centro do cilindro. Qual é vetor campo elétrico (
) em um ponto situado a uma distância radial
do eixo central do disco, sendo
e localizado nas coordenadas (
), em metros? Considere os versores positivos nas direções: horizontalmente para a direita e verticalmente para cima.
Passo 1
O enunciado pede: achar o vetor campo elétrico
num ponto situado a uma distância radial
do eixo do cilindro, com
, localizado nas coordenadas
.
Dados fornecidos: o cilindro é oco (material entre raio interno
e externo
), comprimento
, eixo ao longo de
. A densidade de carga é dada pela expressão
, onde
é uma constante (unidades fornecidas no enunciado) e
é a posição radial. O ponto de interesse está no plano
em
. Queremos o vetor
nesse ponto (direção positiva horizontal para a direita e vertical para cima).
Passo 2
Método escolhido: lei de Gauss. Porque o sistema tem simetria cilíndrica (distribuição depende só da distância radial ao eixo) e queremos o campo numa superfície coaxial — nesse caso a lei de Gauss permite obter
diretamente integrando a carga contida num cilindro gaussiano de raio
. Não há dependência angular nem axial, então
é radial e só depende de
.
Passo 3
Interpretação e elemento de volume: vamos interpretar a densidade dada como densidade volumétrica radial
(essa é a hipótese natural para um isolante com densidade que varia com a distância radial). Para montar a carga contida até um raio
usamos o elemento de volume em coordenadas cilíndricas: um anel de espessura
, comprimento
e circunferência
tem volume
Nesse anel a densidade é
.
Passo 4
Cálculo da carga total encapada pelo cilindro gaussiano de raio
(com
):
Calcule a integral:
Portanto
Passo 5
Aplicando a lei de Gauss: o fluxo elétrico pela superfície lateral do cilindro gaussiano de raio
e comprimento
é
pois o campo é radial e constante sobre a superfície lateral (as tampas não contribuem porque o campo é radial). A lei de Gauss diz
. Igualando:
Cancele
em ambos os lados e resolva para
:
Passo 6
Direção do campo e forma vetorial: a direção é radial e, como a densidade é positiva, o campo aponta para fora do eixo (sentido +
). No ponto
o versor radial
coincide com o versor horizontal positivo
(para a direita). Portanto o vetor campo é
Aqui
é a permissividade do vácuo. Você pode checar: para
o termo
dá um comportamento finito, e para
maior dentro do material o campo cresce com
dominando — sentido físico consistente com mais carga contida à medida que aumentamos
.