(6 pts) Considere os vetores no plano u=(1,2) e v=(-3,1) para determinar:
Os coeficientes da combinação linear do vetor w=(1,1) em termos de u_{1} e u_{2}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \,u=(1,2)\,, \,v=(-3,1)\, e pede os coeficientes da combinação linear que expressa \,w=(1,1)\, em termos desses vetores. Ou seja, encontrar escalares \alpha e \beta tais que
w=\alpha u+\beta v.
Informações relevantes:
  • Vetor alvo: \,w=(1,1)\,.
  • Vetores usados na combinação: \,u=(1,2)\, e \,v=(-3,1)\,.
  • O pedido é: determinar \alpha e \beta.

Passo 2

Explicando o que é fazer uma combinação linear (rápido e direto): dizer que w é combinação linear de u e v significa que existe \alpha e \beta com
\alpha(1,2)+\beta(-3,1)=(1,1).
Isso é equivalente a escrever as igualdades componente a componente. Se chamarmos as componentes, obtemos o sistema de duas equações lineares nas incógnitas \alpha e \beta.

Passo 3

Escrevendo o sistema componente a componente temos
\begin{cases} \alpha - 3\beta = 1,\\[4pt] 2\alpha + \beta = 1. \end{cases}
Antes de resolver, uma observação útil para a prova: se u e v são linearmente independentes, então a solução (\alpha,\beta) é única. Podemos checar independência calculando o determinante da matriz cujas colunas são u e v:
\det\begin{pmatrix}1 & -3\\[2pt]2 & 1\end{pmatrix} = 1\cdot1 - 2\cdot(-3)=1+6=7\neq 0.
Como o determinante é diferente de zero, u e v são linearmente independentes e haverá uma única solução.]

Passo 4

Agora resolvemos o sistema passo a passo pelo método da substituição (muito apropriado em prova e sem calculadora).
Da primeira equação temos
\alpha = 1 + 3\beta.
Substituindo na segunda equação:
2(1+3\beta)+\beta = 1.
Calculemos:
2 + 6\beta + \beta = 1 \quad\Rightarrow\quad 7\beta + 2 = 1.
Isolando \beta:
7\beta = -1 \quad\Rightarrow\quad \beta = -\dfrac{1}{7}.

Passo 5

Com \beta em mãos, voltamos a \alpha = 1 + 3\beta:
\alpha = 1 + 3\left(-\dfrac{1}{7}\right) = 1 - \dfrac{3}{7} = \dfrac{7}{7}-\dfrac{3}{7}=\dfrac{4}{7}.

Passo 6

Vamos checar rapidamente substituindo de volta na combinação para garantir que deu certo:
\alpha u + \beta v = \dfrac{4}{7}(1,2) - \dfrac{1}{7}(-3,1) = \left(\dfrac{4}{7},\dfrac{8}{7}\right) + \left(\dfrac{3}{7},-\dfrac{1}{7}\right) = \left(\dfrac{7}{7},\dfrac{7}{7}\right)=(1,1)=w.
Confere. Dica de prova: para esse tipo de questão sempre monte o sistema componente a componente; se tiver tempo, verifique independência pela matriz (determinante) — assim sabe se a solução é única — e então resolva por substituição, eliminação ou Cramer.

Resposta

\alpha=\dfrac{4}{7}
\beta=-\dfrac{1}{7}