(6 pts) Considere os vetores no plano
e
para determinar:
Os coeficientes da combinação linear do vetor
em termos de
e
.
Os coeficientes da combinação linear do vetor
Passo 1
O enunciado dá os vetores
,
e pede os coeficientes da combinação linear que expressa
em termos desses vetores. Ou seja, encontrar escalares
e
tais que
Informações relevantes:
- Vetor alvo:
. - Vetores usados na combinação:
e . - O pedido é: determinar
e .
Passo 2
Explicando o que é fazer uma combinação linear (rápido e direto): dizer que
é combinação linear de
e
significa que existe
e
com
Isso é equivalente a escrever as igualdades componente a componente. Se chamarmos as componentes, obtemos o sistema de duas equações lineares nas incógnitas
e
.
Passo 3
Escrevendo o sistema componente a componente temos
Antes de resolver, uma observação útil para a prova: se
e
são linearmente independentes, então a solução
é única. Podemos checar independência calculando o determinante da matriz cujas colunas são
e
:
Como o determinante é diferente de zero,
e
são linearmente independentes e haverá uma única solução.]
Passo 4
Agora resolvemos o sistema passo a passo pelo método da substituição (muito apropriado em prova e sem calculadora).
Da primeira equação temos
Substituindo na segunda equação:
Calculemos:
Isolando
:
Passo 5
Com
em mãos, voltamos a
:
Passo 6
Vamos checar rapidamente substituindo de volta na combinação para garantir que deu certo:
Confere. Dica de prova: para esse tipo de questão sempre monte o sistema componente a componente; se tiver tempo, verifique independência pela matriz (determinante) — assim sabe se a solução é única — e então resolva por substituição, eliminação ou Cramer.