Q04) Um gerador síncrono trifásico conectado em \mathrm{Y}, 950 \mathrm{~V}, 165 \mathrm{kVA} e resistência de armadura de 0,3 \Omega /fase, está em paralelo com a rede (barramento infinito) através de uma impedância de 0,07+\mathrm{j} 1,5 \Omega /fase. Quando o gerador está operando em vazio com uma tensão \mathrm{E}_{\mathrm{A}} de 90 \% da tensão nominal (para uma corrente de excitação de 15 A ), ocorre um curtocircuito após a impedância conectada ao gerador. A corrente da armadura medida durante o curto-circuito é de 228 A. A partir dos dados citados, calcule:
a) A impedância e a reatância síncrona da máquina. (\mathbf{1 , 2 5}). \mathbf{R}: \mathbf{X s}=\mathbf{j 0 , 6 3 3} \boldsymbol{\Omega} / fase e \mathbf{Z s}= \mathbf{0 , 3}+\mathbf{j 0 , 6 3 3} \boldsymbol{\Omega} / fase.
b) A regulação de tensão a plena carga com fator de potência 0,92 indutivo. ( \mathbf{1 , 2 5} ). \mathbf{R} : 9,91 \%.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (todos por fase, quando aplicável):
\text{Conexão: } Y,\qquad V_{\text{linha}}=950\\ \text{V}ã
S_{\text{nom}}=165\\ \text{kVA (trifásico)},\qquad R_s=0{,}3\\ \Omega/\text{fase}á
Z_e=0{,}07+\mathrm{j}1{,}5\\ \Omega/\text{fase} \quad(\text{impedância entre gerador e barra})â
Quando o gerador está em vazio com corrente de excitação dada, sua tensão interna por fase é
E_A=0{,}9\cdot V_{\text{nom}} \\ (\text{nota: }V_{\text{nom}} \text{ aqui é a tensão por fase})éã
Foi produzido um curto-circuito depois da impedância Z_e e a corrente de armadura medida durante o curto é
I_{sc}=228\\ \text{A}
O que se pede:
a) Calcular a impedância síncrona por fase \displaystyle Z_s=R_s+\mathrm{j}X_s e a reatância síncrona \displaystyle X_s.
b) Calcular a regulação de tensão à plena carga para fator de potência \displaystyle \mathrm{pf}=0{,}92 indutivo (lagging).

Passo 2

Vamos primeiro determinar a tensão por fase nominal (porque a máquina está ligada em Y). A relação entre tensão de linha e tensão de fase em Y é:
V_{\text{fase}}=\frac{V_{\text{linha}}}{\sqrt{3}}.
Substituindo:
V_{\text{fase}}=\frac{950}{\sqrt{3}}\\ \text{V}\approx \frac{950}{1{,}73205}=548{,}285\\ \text{V}.
A tensão interna em vazio fornecida pelo enunciado é 90\% dessa tensão por fase, portanto
E_A=0{,}9\cdot V_{\text{fase}}=0{,}9\cdot 548{,}285\\ \text{V}=493{,}4565\\ \text{V}.
(Estou escolhendo a referência de fase tal que E_A é real e de ângulo zero.)

Passo 3

No curto-circuito total (pós a impedância Z_e), o circuito por fase visto pelo gerador é E_A em série com Z_s e Z_e, e o terminal do outro lado está em curto. A corrente de curto é, em módulo,
|I_{sc}|=\frac{|E_A|}{|Z_s+Z_e|}.
Rearranjando para o módulo da impedância total:
|Z_{\text{tot}}|=|Z_s+Z_e|=\frac{|E_A|}{|I_{sc}|}.
Substituindo valores numéricos:
|Z_{\text{tot}}|=\frac{493{,}4565}{228}\\ \Omega\approx 2{,}1638\\ \Omega.

Passo 4

Sabemos a parte real da impedância total, pois
\Re(Z_{\text{tot}})=R_s+\Re(Z_e)=0{,}3+0{,}07=0{,}37\\ \Omega.
Com isso podemos obter a parte imaginária (reativa total) pelo teorema de Pitágoras aplicado ao módulo:
|Z_{\text{tot}}|^2=\big(\Re(Z_{\text{tot}})\big)^2+\big(\Im(Z_{\text{tot}})\big)^2.
Logo
\Im(Z_{\text{tot}})=X_{\text{tot}}=\sqrt{|Z_{\text{tot}}|^2-\big(\Re(Z_{\text{tot}})\big)^2} =\sqrt{2{,}1638^2-0{,}37^2}\\ \Omega.
Calculemos:
2{,}1638^2\approx 4{,}6820,\qquad 0{,}37^2=0{,}1369,
X_{\text{tot}}=\sqrt{4{,}6820-0{,}1369}=\sqrt{4{,}5451}\approx 2{,}1317\\ \Omega.

Passo 5

A reatância total é a soma das reatâncias: X_{\text{tot}}=X_s+\Im(Z_e)=X_s+1{,}5. Assim
X_s=X_{\text{tot}}-1{,}5=2{,}1317-1{,}5=0{,}6317\\ \Omega\approx 0{,}633\\ \Omega.
Portanto a impedância síncrona por fase é
Z_s=R_s+\mathrm{j}X_s=0{,}3+\mathrm{j}0{,}633\\ \Omega/\text{fase}.
E a reatância síncrona vale \displaystyle X_s\approx 0{,}633\\ \Omega/\text{fase}.

Passo 6

Agora vamos à regulação de tensão à plena carga com \mathrm{pf}=0{,}92 indutivo. Primeiro precisamos da corrente de plena carga por fase. A corrente de linha (igual à corrente de fase em ligação Y) é dada por:
I_{\text{fl}}=\frac{S_{\text{trif}}}{\sqrt{3}\,V_{\text{linha}}}.
Substituindo:
I_{\text{fl}}=\frac{165000}{\sqrt{3}\cdot 950}\\ \text{A}\approx \frac{165000}{1645{,}45}=100{,}21\\ \text{A}.

Passo 7

Para fator de potência \mathrm{pf}=0{,}92 indutivo, o ângulo de fase entre tensão por fase (referência) e corrente é
\cos\varphi=0{,}92 \quad\Rightarrow\quad \varphi=\operatorname{arccos}(0{,}92)\approx 23{,}07^\circ.
Como é indutivo (lagging), a corrente atrasa a tensão, então tomamos
I=I_{\text{fl}}\angle(-\varphi)=100{,}21\angle(-23{,}07^\circ)\\ \text{A}.
Para multiplicações em retangular é útil separar componentes real e imaginária do vetor corrente:
I_{\text{re}}=I_{\text{fl}}\cos\varphi=100{,}21\cdot 0{,}92=92{,}194\\ \text{A},
I_{\text{im}}=I_{\text{fl}}\sin(-\varphi)=-100{,}21\sin\varphi=-100{,}21\cdot 0{,}3907=-39{,}15\\ \text{A}.
Portanto I=92{,}194 - \mathrm{j}39{,}15\\ \text{A}.

Passo 8

O incremento de tensão (queda de tensão sobre a impedância síncrona) por fase é
\Delta V = I\cdot Z_s = (I_{\text{re}}+\mathrm{j}I_{\text{im}})\cdot (R_s+\mathrm{j}X_s).
Façamos o produto em retangular:
\Delta V = \big(R_sI_{\text{re}}-X_sI_{\text{im}}\big) + \mathrm{j}\big(R_sI_{\text{im}}+X_sI_{\text{re}}\big).
Substituindo os números ( R_s=0{,}3, X_s=0{,}633):
R_sI_{\text{re}}=0{,}3\cdot 92{,}194=27{,}658,
X_sI_{\text{im}}=0{,}633\cdot(-39{,}15)=-24{,}77795,
\Re(\Delta V)=27{,}658-(-24{,}77795)=52{,}436\\ \text{V},
R_sI_{\text{im}}=0{,}3\cdot(-39{,}15)=-11{,}745,
X_sI_{\text{re}}=0{,}633\cdot 92{,}194=58{,}341,
\Im(\Delta V)=-11{,}745+58{,}341=46{,}596\\ \text{V}.
Portanto
\Delta V=52{,}436+\mathrm{j}46{,}596\\ \text{V}.

Passo 9

A tensão interna por fase em carga completa (phasor) é
E_{\text{fl}}=V_{\text{fase}}+\Delta V.
Tomando V_{\text{fase}}=548{,}285\angle 0^\circ V:
E_{\text{fl}}=(548{,}285+52{,}436)+\mathrm{j}(0+46{,}596)=600{,}721+\mathrm{j}46{,}596\\ \text{V}.
O módulo de E_{\text{fl}} é
|E_{\text{fl}}|=\sqrt{600{,}721^2+46{,}596^2}\\ \text{V}.
Calculando:
600{,}721^2\approx 360{,}866{,} ,\qquad 46{,}596^2\approx 2{,}171{,}36,
|E_{\text{fl}}|\approx\sqrt{363{,}037{,}36}\approx 602{,}52\\ \text{V}.

Passo 10

A regulação de tensão percentual é definida por
\text{Regulação}=\frac{|E_{\text{fl}}|-|V_{\text{fase}}|}{|V_{\text{fase}}|}\times 100\%.çã
Substituindo:
\text{Regulação}=\frac{602{,}52-548{,}285}{548{,}285}\times 100\% =\frac{54{,}235}{548{,}285}\times 100\%\approx 9{,}91\%.çã

Resposta

a) \displaystyle X_s=0{,}633\\ \Omega/\text{fase};\quad Z_s=0{,}3+\mathrm{j}0{,}633\\ \Omega/\text{fase}.
b) Regulação de tensão à plena carga (pf =0{,}92 indutivo): \displaystyle 9{,}91\\ \%.

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