Ex 5 A corrente em um indutor ideal L=25 \mathrm{mH} é dada por i(t)=10 t . e^{-100 t} \llbracket \mathrm{~A}, \mathrm{~s} \rrbracket. Calcule:
a) A tensão v(t), em convenção do receptor.
b) A potência que está sendo fornecida ao indutor em t=50 \mathrm{~ms}.
c) A energia armazenada no indutor em t=40 \mathrm{~ms}.

Passo 1

O enunciado dá a corrente no indutor e pede três coisas. Dados e pedidos (escritos claramente):
L=25\\ \text{mH}=25\times10^{-3}\\ \text{H}.
A corrente
i(t)=10\,t\,e^{-100 t}\quad[\text{A},\\ \text{s}].
Perguntas:
  1. (a) Calcular a tensão v(t) na convenção do receptor.
  2. (b) Calcular a potência que está sendo fornecida ao indutor em t=50\\ \text{ms}.
  3. (c) Calcular a energia armazenada no indutor em t=40\\ \text{ms}.

Passo 2

Relembrando a fórmula física que usamos (aula rápida): para um indutor ideal, na convenção do receptor (ou seja, tensão positiva indicando absorção de energia),
v(t)=L\,\frac{di(t)}{dt}.
Aqui v(t) é a tensão em volts, L é a indutância em henry e \dfrac{di}{dt} é a derivada temporal da corrente (A/s). Para potência instantânea, usamos
p(t)=v(t)\,i(t),
onde p(t)>0 significa potência absorvida pelo elemento; p(t)<0 significa que o elemento está fornecendo (entregando) energia ao circuito. A energia instantânea armazenada em um indutor ideal é
w(t)=\tfrac{1}{2}L\,i^2(t).
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Primeiro precisamos da derivada \dfrac{di}{dt}. A corrente é produto de duas funções u(t)=10t e v(t)=e^{-100t}. Regra do produto: (uv)'=u'v+uv'.
Calcule as derivadas parciais:
u(t)=10t \quad\Rightarrow\quad u'(t)=10.
v(t)=e^{-100t} \quad\Rightarrow\quad v'(t)=-100\,e^{-100t}.
Aplicando a regra do produto:
\frac{di}{dt}=u'v+uv' = 10\,e^{-100t} + 10t\cdot(-100)\,e^{-100t}.
Fatorando 10\,e^{-100t}:
\frac{di}{dt}=10\,e^{-100t}\bigl(1-100t\bigr).

Passo 4

Agora usamos v(t)=L\,\dfrac{di}{dt}. Substituindo L=25\times10^{-3} e a expressão da derivada:
v(t)=25\times10^{-3}\cdot 10\,e^{-100t}\bigl(1-100t\bigr).
Multiplicando 25\times10^{-3}\cdot10=0,25, obtemos a forma final:
v(t)=0,25\,e^{-100t}\bigl(1-100t\bigr)\\ \text{V}.
Isto responde a item (a). Interprete: o sinal depende do fator (1-100t); para t<0,01\\ \text{s} a tensão é positiva (absorbendo energia), para t>0,01\\ \text{s} ela fica negativa (fornecendo).

Passo 5

Item (b): potência em t=50\\ \text{ms}. Primeiro convertendo 50\\ \text{ms}=0,05\\ \text{s}.
Calcule i(0,05):
i(0,05)=10\cdot0,05\,e^{-100\cdot0,05}=0,5\,e^{-5}.
Usando e^{-5}\approx0,006737947,
i(0,05)\approx0,5\cdot0,006737947\approx0,003368974\\ \text{A}.
Calcule v(0,05) usando a expressão de v(t):
v(0,05)=0,25\,e^{-5}\bigl(1-100\cdot0,05\bigr)=0,25\,e^{-5}(1-5)=0,25\,e^{-5}(-4)=-1\,e^{-5}.
Usando e^{-5}\approx0,006737947,
v(0,05)\approx-0,006737947\\ \text{V}.
Agora a potência:
p(0,05)=v(0,05)\,i(0,05)\approx\bigl(-e^{-5}\bigr)\cdot\bigl(0,5\,e^{-5}\bigr)=-0,5\,e^{-10}.
Usando e^{-10}\approx0,00004539993,
p(0,05)\approx-0,5\cdot0,00004539993\approx-2,2699965\times10^{-5}\\ \text{W}.
Em unidades mais legíveis, isso é aproximadamente
p(0,05)\approx-2,27\times10^{-5}\\ \text{W}\approx-22,7\\ \mu\text{W}.
O sinal negativo indica que, naquele instante, o indutor está fornecendo energia ao circuito (não absorvendo).

Passo 6

Item (c): energia armazenada em t=40\\ \text{ms}=0,04\\ \text{s}. Use w(t)=\tfrac{1}{2}L\,i^2(t).
Calcule i(0,04):
i(0,04)=10\cdot0,04\,e^{-100\cdot0,04}=0,4\,e^{-4}.
Usando e^{-4}\approx0,018315639,
i(0,04)\approx0,4\cdot0,018315639\approx0,0073262556\\ \text{A}.
Agora i^2(0,04):
i^2(0,04)\approx(0,0073262556)^2\approx5,367133337\times10^{-5}\\ \text{A}^2.
Multiplicando por \tfrac{1}{2}L=\tfrac{1}{2}\cdot25\times10^{-3}=0,0125:
w(0,04)=0,0125\cdot5,367133337\times10^{-5}\approx6,708916671\times10^{-7}\\ \text{J}.
Arredondando razoavelmente,
w(0,04)\approx6,71\times10^{-7}\\ \text{J}\approx0,671\\ \mu\text{J}.

Resposta

(a) \displaystyle v(t)=0,25\,e^{-100t}\bigl(1-100t\bigr)\\ \text{V}.
(b) \displaystyle p(0,05)\approx-2,27\times10^{-5}\\ \text{W} (≈ -22,7\\ \mu\text{W}).
(c) \displaystyle w(0,04)\approx6,71\times10^{-7}\\ \text{J} (≈ 0,671\\ \mu\text{J}).

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