Q11: Considere o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} definido por: H=\operatorname{span}\{(-2,0,1,0),(0,0,-1,2),(8,0,0,-8)\}. Qual dos conjuntos abaixo é base de H^{\perp} (complemento ortogonal de H )?
(A) \{(4,-3,3,3),(3,-1,6,3)\}
(B) \{(-2,-4,4,4)\}
(C) \{(2,-4,4,2),(3,-1,6,3)\}
(D) \{(3,-1,6,3)\}
(E) \{(2,-4,4,2)\}
(F) \{(4,-3,3,3)\}
(G) \{(4,-3,3,3),(-2,-4,4,4)\}
(H) \{(2,-4,4,2),(-2,-4,4,4)\}

Passo 1

O enunciado dá o subespaço H\subset\mathbb{R}^4 gerado por três vetores e pede qual dos conjuntos listados é uma base de H^{\perp} (o complemento ortogonal de H). Informações relevantes fornecidas:
H=\operatorname{span}\{(-2,0,1,0),\;(0,0,-1,2),\;(8,0,0,-8)\}.
O que precisamos encontrar: um conjunto de vetores que forme uma base de H^{\perp}=\{x\in\mathbb{R}^4:\langle x,y\rangle=0\\ \text{para todo }y\in H\}. As opções (A) a (H) são candidatas.

Passo 2

Determinar primeiro a dimensão de H\) (ou se os três geradores são independentes). Denotemos \[v_1 = (-2,0,1,0),\qquad v_2=(0,0,-1,2),\qquad v_3=(8,0,0,-8).
Procuramos escalares a,b tais que a v_1 + b v_2 = v_3. Escrevendo coordenada a coordenada:
\begin{cases} -2a + 0b = 8,\\[4pt] 0a + 0b = 0,\\[4pt] 1a -1b = 0,\\[4pt] 0a + 2b = -8. \end{cases}
Da primeira equação vem a=-4\]. Da terceira vem \(a-b=0\Rightarrow b=a=-4. Da quarta vem 2b=-8\Rightarrow b=-4, consistente. Logo v_3 = -4v_1 -4v_2, ou seja, v_3 é combinação linear de v_1 e v_2. Portanto
H=\operatorname{span}\{v_1,v_2\}
e \dim H = 2.]

Passo 3

O complemento ortogonal H^{\perp} tem dimensão 4-\dim H = 2. Para obter H^{\perp} fazemos x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4 e impomos \langle x,v_1\rangle=0 e \langle x,v_2\rangle=0. Isso gera um sistema linear:
\langle x,v_1\rangle = -2x_1 + 0x_2 + 1x_3 + 0x_4 = 0,
\langle x,v_2\rangle = 0x_1 + 0x_2 -1x_3 + 2x_4 = 0.
Simplificando:
-2x_1 + x_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_3 = 2x_1,
-x_3 + 2x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad -2x_1 + 2x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_4 = x_1.
A coordenada x_2 não aparece nas equações, portanto é livre. Escrevendo com parâmetros t=x_1 e s=x_2 obtemos a forma geral:
x=(x_1,x_2,x_3,x_4) = (t,s,2t,t) = t(1,0,2,1) + s(0,1,0,0).
Logo uma base natural para H^{\perp} é
\{(1,0,2,1),\;(0,1,0,0)\},
confirmando \dim H^{\perp}=2.

Passo 4

Agora verificamos as opções comparando com a condição deduzida: um vetor x=(x_1,x_2,x_3,x_4) pertence a H^{\perp} se, e somente se, x_3=2x_1 e x_4=x_1. Testo as opções:
  • (A) primeiro vetor (4,-3,3,3): aqui x_3=3 e 2x_1=8, não bate; então esse vetor não pertence a H^{\perp}. Logo (A) está fora.
  • (B) vetor (-2,-4,4,4): tem x_3=4 e 2x_1= -4, não bate, então não pertence a H^{\perp}. (B) fora.
  • (C) vetores (2,-4,4,2) e (3,-1,6,3):
    • Para (2,-4,4,2): x_3=4 e 2x_1=4 ok; x_4=2 e x_1=2 ok. Pertence a H^{\perp}.
    • Para (3,-1,6,3): x_3=6 e 2x_1=6 ok; x_4=3 e x_1=3 ok. Pertence a H^{\perp}.
    • Verificamos independência linear: os coeficientes (x_1,x_2) relativos à base \{(1,0,2,1),(0,1,0,0)\} são (2,-4) e (3,-1), que não são proporcionais (não múltiplos um do outro), logo os dois vetores são linearmente independentes. Como são dois vetores independentes em H^{\perp} (que tem dimensão 2), eles formam uma base de H^{\perp}. Portanto (C) é correta.
  • (D) vetor (3,-1,6,3) sozinho: pertence a H^{\perp} mas é apenas um vetor (insuficiente para base de um espaço de dimensão 2). (D) fora.
  • (E) vetor (2,-4,4,2) sozinho: pertence a H^{\perp} mas é apenas um vetor (insuficiente). (E) fora.
  • (F) vetor (4,-3,3,3): já vimos que não pertence a H^{\perp}. (F) fora.
  • (G) contém (4,-3,3,3) que não pertence a H^{\perp}, então (G) fora.
  • (H) contém (-2,-4,4,4) que não pertence a H^{\perp}, então (H) fora.
Concluímos que a única opção correta é (C).

Resposta

(C) \{(2,-4,4,2),(3,-1,6,3)\}

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