Q11: Determine o polinômio p(x)=a x^{2}+b x+c que passa pelos pontos (0,-2),(1,5) e (2,18). Assinale o valor de a.
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(E) 4
(F) 5
3

Passo 1

O enunciado pede para determinar o polinômio p(x)=a x^{2}+b x+c que passa pelos pontos (0,-2), (1,5) e (2,18). A pergunta específica é: qual é o valor de a?\n
Informações dadas:
  • O polinômio tem a forma p(x)=a x^{2}+b x+c.
  • Ele satisfaz p(0)=-2, p(1)=5 e p(2)=18.

Passo 2

Avaliar o polinômio em x=0. Substituir x=0 em p(x)=a x^{2}+b x+c
p(0)=c.
Como o ponto dado é (0,-2), temos
c=-2.
Explicação curta: ao substituir x=0 em qualquer polinômio, todos os termos com x somem e sobra apenas o termo constante c.

Passo 3

Avaliar o polinômio em x=1. Substituir x=1 em p(x)=a x^{2}+b x+c
p(1)=a+b+c.
Pelo ponto (1,5) temos
a+b+c=5.
Substituindo c=-2 obtém-se
a+b-2=5
a+b=7.
Explicação: isso cria uma equação linear entre a e b.

Passo 4

Avaliar o polinômio em x=2. Substituir x=2 em p(x)=a x^{2}+b x+c
p(2)=4a+2b+c.
Pelo ponto (2,18) temos
4a+2b+c=18.
Substituindo c=-2 obtém-se
4a+2b-2=18
4a+2b=20.
Para simplificar, dividir por 2:
2a+b=10.

Passo 5

Agora temos o sistema linear em a\) e \(b\): \[\begin{cases} a+b=7,\\[4pt] 2a+b=10. \end{cases}
Explicação do método usado: aqui uso o método de eliminação — subtraio a primeira equação da segunda para eliminar (b].]

Passo 6

Subtraindo a primeira equação da segunda:
(2a+b)-(a+b)=10-7.
Isso dá
a=3.
Uma verificação rápida (opcional): com a=3 da primeira equação a+b=7 segue b=4. E com c=-2 o polinômio é p(x)=3x^{2}+4x-2. Conferindo os pontos:
p(0)=-2,\qquad p(1)=3+4-2=5,\qquad p(2)=12+8-2=18.
Tudo bate.

Resposta

3