Q11:
e
, são tais que
e
são soluções do sistema
. Qual dos seguintes vetores é uma solução do sistema homogêneo associado,
?
A)
(B)
(C)
(D)
(D)
(F)
A)
(B)
(C)
(D)
(D)
(F)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
e com . - Os vetores
e são soluções do sistema . Ou seja,
O que o enunciado pede:
- Identificar qual dos vetores da lista é solução do sistema homogêneo associado
.
Passo 2
Lembração importante (propriedade que vamos usar): se
e
são soluções da mesma equação não-homogênea
, então a diferença
é solução do homogêneo
. Explicando por que isso é verdade:
- Como
e , subtraindo as duas igualdades obtemos - Usando distributividade da multiplicação matricial por vetores, isso é
- Conclusão:
pertence ao núcleo (nullspace) de , ou seja é solução do sistema homogêneo.
Passo 3
Aplicando a propriedade aos vetores fornecidos: sejam
e
. Calcule a diferença:
Pelo argumento anterior,
é solução do sistema homogêneo
.
Passo 4
Outra propriedade útil (e simples): o núcleo de uma matriz é um espaço vetorial, então é fechado por multiplicação escalar. Ou seja, se
satisfaz
, então para qualquer escalar
vale
. Logo qualquer múltiplo escalar de
também é solução do homogêneo.
Passo 5
Agora comparo com as opções dadas, que têm segunda componente
. Procuro um múltiplo escalar
tal que
Para a segunda componente igualar a
preciso de
, portanto
. Com
a primeira componente fica
. Assim
Pelo argumento de fechamento por escalares,
também é solução de
.
Passo 6
Verificação final lógica (sem precisar conhecer
explicitamente): como
, então
confirmando que
é solução do sistema homogêneo.