Q11: A \in \mathbb{R}^{2 \times 2} e \vec{b} \in \mathbb{R}^{2}, \vec{b} \neq \overrightarrow{0}, são tais que (1,1) e (3,8) são soluções do sistema A \vec{x}=\vec{b}. Qual dos seguintes vetores é uma solução do sistema homogêneo associado, A \vec{x}=\overrightarrow{0} ?
A) (0,14)
(B) (1,14)
(C) (2,14)
(D) (3,14)
(D) (4,14)
(F) (5,14)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A \in \mathbb{R}^{2\times2} e \vec{b}\in\mathbb{R}^{2} com \vec{b}\neq\overrightarrow{0}.
  • Os vetores \,(1,1)\, e \,(3,8)\, são soluções do sistema A\vec{x}=\vec{b}. Ou seja, A\,(1,1)^{T}=\vec{b} \quad\text{e}\quad A\,(3,8)^{T}=\vec{b}.
O que o enunciado pede:
  • Identificar qual dos vetores da lista é solução do sistema homogêneo associado A\vec{x}=\overrightarrow{0}.

Passo 2

Lembração importante (propriedade que vamos usar): se \vec{x}_1 e \vec{x}_2 são soluções da mesma equação não-homogênea A\vec{x}=\vec{b}, então a diferença \vec{x}_2-\vec{x}_1 é solução do homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0}. Explicando por que isso é verdade:
  • Como A\vec{x}_1=\vec{b} e A\vec{x}_2=\vec{b}, subtraindo as duas igualdades obtemos A\vec{x}_2-A\vec{x}_1=\vec{b}-\vec{b}=\overrightarrow{0}.
  • Usando distributividade da multiplicação matricial por vetores, isso é A(\vec{x}_2-\vec{x}_1)=\overrightarrow{0}.
  • Conclusão: \vec{x}_2-\vec{x}_1 pertence ao núcleo (nullspace) de A, ou seja é solução do sistema homogêneo.

Passo 3

Aplicando a propriedade aos vetores fornecidos: sejam \vec{x}_1=(1,1) e \vec{x}_2=(3,8). Calcule a diferença:
(3,8)-(1,1)=(2,7).
Pelo argumento anterior, (2,7) é solução do sistema homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0}.

Passo 4

Outra propriedade útil (e simples): o núcleo de uma matriz é um espaço vetorial, então é fechado por multiplicação escalar. Ou seja, se \vec{v} satisfaz A\vec{v}=\overrightarrow{0}, então para qualquer escalar c vale A(c\vec{v})=cA\vec{v}=c\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}. Logo qualquer múltiplo escalar de (2,7) também é solução do homogêneo.

Passo 5

Agora comparo com as opções dadas, que têm segunda componente 14. Procuro um múltiplo escalar c tal que
c(2,7)=(c\cdot 2,\;c\cdot 7)=(?,14).
Para a segunda componente igualar a 14 preciso de c\cdot 7=14, portanto c=2. Com c=2 a primeira componente fica 2\cdot 2=4. Assim
2(2,7)=(4,14).
Pelo argumento de fechamento por escalares, (4,14) também é solução de A\vec{x}=\overrightarrow{0}.

Passo 6

Verificação final lógica (sem precisar conhecer A explicitamente): como A(2,7)=\overrightarrow{0}, então
A(4,14)=A\big(2(2,7)\big)=2\,A(2,7)=2\cdot\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0},
confirmando que (4,14) é solução do sistema homogêneo.

Resposta

(4,14)