\left[\begin{array}{rr} 4 & 2 \\\\ -4 & -2 \end{array}\right]=P\left[\begin{array}{ll} a & 0 \\\\ 0 & b \end{array}\right] P^{-1} \quad \text { onde } \quad a<b
A 2^{\mathrm{a}} coluna da matriz P é múltipla de:
(A) \left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 0\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 1\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 2\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 3\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 4\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 5\end{array}\right]
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
A matriz dada é
A=\begin{pmatrix}4 & 2 \\\\ -4 & -2\end{pmatrix}.
Existe uma matriz invertível P tal que
A = P \begin{pmatrix}a & 0 \\[4pt] 0 & b\end{pmatrix} P^{-1},
com a<b.
Pergunta: “A 2ª coluna da matriz P é múltipla de qual dos vetores (A)–(F) listados?”
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A igualdade acima significa que A é diagonalizável e que as colunas de P são vetores próprios (autovetores) de A. A 1ª coluna de P é um autovetor associado a a e a 2ª coluna é um autovetor associado a b.
Como a<b, a 2ª coluna de P corresponde ao autovalor maior b.]
Passo 2
Explicação didática (conceito usado): por que as colunas de P são autovetores?
Se A = P D P^{-1} com D diagonal, escrevendo P=[v_1\\ v_2] (colunas v_1,v_2) e D=\operatorname{diag}(a,b), multiplica-se:
As duas equações são equivalentes; basta usar a primeira: 2x+2y=0\Rightarrow x+y=0\Rightarrow x=-y\].
- Então os vetores próprios correspondentes a \(\lambda=2 são todos os múltiplos escalares de
\begin{pmatrix}-1\\[4pt] 1\end{pmatrix}.]
Passo 6
Interpretação final e escolha entre as alternativas:
A 2ª coluna de P é um autovetor associado a b=2, portanto deve ser um vetor não-nulo do espaço próprio de \lambda=2, isto é, um múltiplo de \begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Entre as opções (A)–(F), a que coincide com esse múltiplo é a opção (B).
Força aí — você já tem a técnica: para estes problemas procure primeiro os autovalores (polinômio característico) e depois calcule o espaço próprio para pegar o autovetor correspondente ao autovalor indicado.]