Q11: Seja P inversível tal que:
\left[\begin{array}{rr} 4 & 2 \\\\ -4 & -2 \end{array}\right]=P\left[\begin{array}{ll} a & 0 \\\\ 0 & b \end{array}\right] P^{-1} \quad \text { onde } \quad a<b
A 2^{\mathrm{a}} coluna da matriz P é múltipla de:
(A) \left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 0\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 1\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 2\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 3\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 4\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 5\end{array}\right]

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • A matriz dada é
A=\begin{pmatrix}4 & 2 \\\\ -4 & -2\end{pmatrix}.
  • Existe uma matriz invertível P tal que
A = P \begin{pmatrix}a & 0 \\[4pt] 0 & b\end{pmatrix} P^{-1},
com a<b.
  • Pergunta: “A 2ª coluna da matriz P é múltipla de qual dos vetores (A)–(F) listados?”
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A igualdade acima significa que A é diagonalizável e que as colunas de P são vetores próprios (autovetores) de A. A 1ª coluna de P é um autovetor associado a a e a 2ª coluna é um autovetor associado a b.
  • Como a<b, a 2ª coluna de P corresponde ao autovalor maior b.]

Passo 2

Explicação didática (conceito usado): por que as colunas de P são autovetores?
  • Se A = P D P^{-1} com D diagonal, escrevendo P=[v_1\\ v_2] (colunas v_1,v_2) e D=\operatorname{diag}(a,b), multiplica-se:
A P = P D.
  • Isso equivale a
A[v_1\\ v_2] = [v_1\\ v_2]\begin{pmatrix}a & 0 \\[4pt] 0 & b\end{pmatrix} = [a v_1\\ b v_2].
  • Comparando colunas: A v_1 = a v_1 e A v_2 = b v_2. Ou seja, v_1 e v_2 são autovetores de A associados aos autovalores a e b, respectivamente.]

Passo 3

Vamos achar os autovalores de A. Para isso calculamos o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0.
  • Primeiro escrevo A-\lambda I:
A-\lambda I = \begin{pmatrix}4-\lambda & 2 \\[4pt] -4 & -2-\lambda\end{pmatrix}.
  • O determinante é
\det(A-\lambda I)=(4-\lambda)(-2-\lambda) - (2)(-4).
  • Desenvolvendo:
(4-\lambda)(-2-\lambda)= -8 -4\lambda +2\lambda +\lambda^2 = \lambda^2 -2\lambda -8.
  • Somando o termo -(2)(-4)=+8 obtemos
\det(A-\lambda I)= (\lambda^2 -2\lambda -8) + 8 = \lambda^2 -2\lambda.
  • Logo o polinômio característico é
\lambda^2 -2\lambda = \lambda(\lambda-2).
  • Das raízes, os autovalores são \lambda=0 e \lambda=2.]

Passo 4

Identificação de a e b: como o enunciado diz a<b, devemos ter a=0 e b=2. Assim a 2ª coluna de P é um autovetor associado a \lambda=2.

Passo 5

Agora vamos calcular o espaço próprio (autovetores) associado a [\lambda=2); isto é, resolver (A-2I)v=0.
  • Calculo A-2I:
A-2I = \begin{pmatrix}4-2 & 2 \\[4pt] -4 & -2-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 2 \\[4pt] -4 & -4\end{pmatrix}.
  • Seja v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}. A equação (A-2I)v=0 dá o sistema
\begin{cases} 2x+2y=0,\\[4pt] -4x-4y=0. \end{cases}
  • As duas equações são equivalentes; basta usar a primeira: 2x+2y=0\Rightarrow x+y=0\Rightarrow x=-y\]. - Então os vetores próprios correspondentes a \(\lambda=2 são todos os múltiplos escalares de
\begin{pmatrix}-1\\[4pt] 1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Interpretação final e escolha entre as alternativas:
  • A 2ª coluna de P é um autovetor associado a b=2, portanto deve ser um vetor não-nulo do espaço próprio de \lambda=2, isto é, um múltiplo de \begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  • Entre as opções (A)–(F), a que coincide com esse múltiplo é a opção (B).
Força aí — você já tem a técnica: para estes problemas procure primeiro os autovalores (polinômio característico) e depois calcule o espaço próprio para pegar o autovetor correspondente ao autovalor indicado.]

Resposta

(B) \begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}]