Q12: Sejam
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
.
O valor de
, a
entrada de
, é:
Dica: Projete
em
. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(E) 5
(F) 6
O valor de
Dica: Projete
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(E) 5
(F) 6
Passo 1
O enunciado dá a coluna
e o subespaço
Pede para calcular
, a projeção ortogonal de
sobre
, e especificamente o valor da terceira componente
de
. As alternativas são
.
Passo 2
Idéia prática:
é um hiperplano com vetor normal
que satisfaz a equação linear. Do enunciado vemos que
(peguei esse vetor normal diretamente da equação
). O subespaço ortogonal
é a reta gerada por
, isto é
.
Uma propriedade útil: a projeção ortogonal de
sobre
é
ou seja, subtraímos de
a sua projeção sobre a reta perpendicular
. Isso normalmente é mais fácil porque projetar numa reta (span de um vetor) tem fórmula direta.
Fórmula da projeção de um vetor
sobre a reta gerada por
:
Aqui
é o produto escalar (somatório das multiplicações coordenada a coordenada). O motivo: a fração
dá o escalar que multiplica
para obter a componente de
na direção de
.
Vou aplicar essa fórmula passo a passo.
Passo 3
Calcule o produto escalar
. Usando
e
,
Agora as contas:
,
,
,
. Somando:
Passo 4
Calcule
(o quadrado da norma de
):
Passo 5
O coeficiente escalar da projeção em
é
Passo 6
A projeção de
sobre
é
Passo 7
Agora obtenho a projeção em
subtraindo:
Calculando coordenada a coordenada:
Logo
.
Passo 8
A terceira entrada pedida é
. Isso corresponde à alternativa
.
Resposta
(D) 4