Q12: Sejam \vec{v}=(7,-3,10,-1) \mathrm{e}
H=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+2 y-3 z+w=0\right\} .
Calcule \vec{w}=P_{H} \vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H.
O valor de w_{3}, a 3^{\mathrm{a}} entrada de \vec{w}, é:
Dica: Projete \vec{v} em H^{\perp}. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(\checkmark) 4
(E) 5
(F) 6

Passo 1

O enunciado dá a coluna
\vec{v}=(7,-3,10,-1)
e o subespaço
H=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x+2y-3z+w=0\}.
Pede para calcular \vec{w}=P_H\vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H, e especificamente o valor da terceira componente w_3 de \vec{w}. As alternativas são (A)\;1,\\ (B)\;2,\\ \text{(C)}\;3,\\ (D)\;4,\\ (E)\;5,\\ (F)\;6.

Passo 2

Idéia prática: H é um hiperplano com vetor normal \vec{n} que satisfaz a equação linear. Do enunciado vemos que \vec{n}=(1,2,-3,1) (peguei esse vetor normal diretamente da equação x+2y-3z+w=0). O subespaço ortogonal H^\perp é a reta gerada por \vec{n}, isto é H^\perp=\operatorname{span}\{\vec{n}\}.
Uma propriedade útil: a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H é
\vec{w}=P_H\vec{v}=\vec{v}-P_{H^\perp}\vec{v},
ou seja, subtraímos de \vec{v} a sua projeção sobre a reta perpendicular H^\perp. Isso normalmente é mais fácil porque projetar numa reta (span de um vetor) tem fórmula direta.
Fórmula da projeção de um vetor \vec{v} sobre a reta gerada por \vec{n}:
P_{\operatorname{span}\{\vec{n}\}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\;\vec{n}.
Aqui \vec{v}\cdot\vec{n} é o produto escalar (somatório das multiplicações coordenada a coordenada). O motivo: a fração \dfrac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}} dá o escalar que multiplica \vec{n} para obter a componente de \vec{v} na direção de \vec{n}.
Vou aplicar essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Calcule o produto escalar \vec{v}\cdot\vec{n}. Usando \vec{v}=(7,-3,10,-1) e \vec{n}=(1,2,-3,1),
\vec{v}\cdot\vec{n}=7\cdot 1 + (-3)\cdot 2 + 10\cdot(-3) + (-1)\cdot 1.
Agora as contas: 7\cdot 1=7, (-3)\cdot 2=-6, 10\cdot(-3)=-30, (-1)\cdot 1=-1. Somando:
\vec{v}\cdot\vec{n}=7-6-30-1=-30.

Passo 4

Calcule \vec{n}\cdot\vec{n} (o quadrado da norma de \vec{n}):
\vec{n}\cdot\vec{n}=1^2+2^2+(-3)^2+1^2=1+4+9+1=15.

Passo 5

O coeficiente escalar da projeção em H^\perp é
\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}=\frac{-30}{15}=-2.

Passo 6

A projeção de \vec{v} sobre H^\perp é
P_{H^\perp}\vec{v}=\left(-2\right)\vec{n}=-2(1,2,-3,1)=(-2,-4,6,-2).

Passo 7

Agora obtenho a projeção em H subtraindo:
\vec{w}=\vec{v}-P_{H^\perp}\vec{v}=(7,-3,10,-1)-(-2,-4,6,-2).
Calculando coordenada a coordenada:
\begin{aligned} w_1&=7-(-2)=7+2=9,\\\ w_2&=-3-(-4)=-3+4=1,\\\ w_3&=10-6=4,\\\ w_4&=-1-(-2)=-1+2=1. \end{aligned}
Logo \vec{w}=(9,1,4,1).

Passo 8

A terceira entrada pedida é w_3=4. Isso corresponde à alternativa (D).

Resposta

(D) 4