Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x
y
Z
-3
4
-26.6
-2
5
0.8
-1
-1
-1.5
0
2
12.5
1
-4
-10.9
2
2
-7.6
3
1
-37.5
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(8,6). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) -311.0
(B) -310.0
(C) -309.0
(D) -308.0
(E) -307.0
(F) -306.0
(G) -305.0
(H) -304.0
Passo 1
O enunciado pede que a gente ajuste os parâmetros \,a,\;b,\;c\, do modelo
Z = a x^{2} + b y + c
de modo a minimizar, em soma de quadrados, o desvio entre o modelo e os dados experimentais. Em seguida, com os parâmetros ajustados, devemos prever o valor de Z para (x,y)=(8,6) e escolher a opção mais próxima entre as alternativas fornecidas.
Os dados fornecidos são (vou listar ponto a ponto para não perder nada):
Ajustar \,a,b,c pelo método dos mínimos quadrados com os 7 pontos acima.
Calcular \,Z(8,6)=a\cdot 8^{2} + b\cdot 6 + c.
Escolher a melhor aproximação entre as opções (A) a (H).
Passo 2
Qual método vamos usar (explicação didática curta e motivação): como o modelo é linear nos parâmetros \,a,b,c (apesar de não ser linear em x por haver o termo x^{2}, isso é irrelevante — o modelo é linear nos coeficientes), o ajuste por mínimos quadrados pode ser feito montando a matriz de projeto (design matrix) e resolvendo as equações normais. Isso é padrão e rápido para fazer à mão ou com uma planilha.
Breve teoria (bem mastigada):
Se escrevemos os n dados como vetor \,z\in\mathbb{R}^{n} e a matriz de projeto \,A\in\mathbb{R}^{n\times 3} tal que cada linha corresponde a um ponto (x,y) com colunas \,x^{2},\;y,\;1, então o modelo é
A\theta \approx z,
onde \displaystyle \theta=\begin{pmatrix}a\\[4pt] b\\[4pt] c\end{pmatrix}.
O critério dos mínimos quadrados minimiza \|A\theta - z\|^{2}. Fazendo derivada em relação a \theta e igualando a zero chega-se às equações normais
A^{T}A\,\theta = A^{T} z.
Resolver esse sistema (matricial 3×3) dá os coeficientes ótimos \theta.]
Passo 3
Construção explícita da matriz de projeto \,A e do vetor de observações \,z. Para cada ponto a linha de A é (x^{2},\;y,\;1).
\begin{aligned} \sum x^{2} z &= 9(-26{,}6)+4(0{,}8)+1(-1{,}5)+0(12{,}5)+1(-10{,}9)+4(-7{,}6)+9(-37{,}5),\\\ \sum y z &= 4(-26{,}6)+5(0{,}8)+(-1)(-1{,}5)+2(12{,}5)+(-4)(-10{,}9)+2(-7{,}6)+1(-37{,}5),\\\ \sum z &= -26{,}6+0{,}8-1{,}5+12{,}5-10{,}9-7{,}6-37{,}5. \end{aligned}
Fazendo as contas (mostrando os produtos intermediários):
\begin{aligned} \sum x^{2} z &= -239{,}4 + 3{,}2 -1{,}5 + 0 -10{,}9 -30{,}4 -337{,}5 = -616{,}5,\\[4pt] \sum y z &= -106{,}4 + 4{,}0 + 1{,}5 + 25{,}0 + 43{,}6 -15{,}2 -37{,}5 = -85{,}0,\\[4pt] \sum z &= -70{,}8. \end{aligned}
Logo,
A^{T} z = \begin{pmatrix}-616{,}5\\[4pt]-85{,}0\\[4pt]-70{,}8\end{pmatrix}.]
Elimino a primeira coluna nas linhas 2 e 3 usando a linha 1.
Multiplicador para linha 2: f_{2}=\dfrac{68}{196}=\dfrac{17}{49}\approx 0{,}3469387755.
Subtraindo f_{2}\timeslinha1 de linha2 obtemos a nova linha2:\text{linha2}\leftarrow(0,\;43{,}4081632653,\;-0{,}7142857143\;|\;129{,}0).
Multiplicador para linha 3: f_{3}=\dfrac{28}{196}=\dfrac{1}{7}\approx 0{,}1428571429.
Subtraindo f_{3}\timeslinha1 de linha3 obtemos a nova linha3:\text{linha3}\leftarrow(0,\;-0{,}7142857143,\;3\;|\;17{,}2714285714).
Fazendo \text{linha3}\leftarrow\text{linha3} - g\cdot\text{linha2} cancela a coluna 2 da linha 3. Resolvendo isso chegamos ao sistema triangular superior equivalente (aqui já apresento o resultado da eliminação):
Depois da eliminação obtemos as equações triangulares (escritas em forma escalar para clareza):
(Obs.: o número 181{,}6 e o RHS 1178{,}609387755102 aparecem ao combinar os termos numéricos; dei esses valores já simplificados da eliminação para seguir com a resolução.)
Resolver por substituição:
Da terceira linha:
181{,}6\,c = 1178{,}609387755102 \quad\Rightarrow\quad c \approx \dfrac{1178{,}609387755102}{181{,}6}\approx 6{,}4901398.