Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x y Z
-3 4 -26.6
-2 5 0.8
-1 -1 -1.5
0 2 12.5
1 -4 -10.9
2 2 -7.6
3 1 -37.5
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(8,6). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) -311.0
(B) -310.0
(C) -309.0
(D) -308.0
(E) -307.0
(F) -306.0
(G) -305.0
(H) -304.0

Passo 1

O enunciado pede que a gente ajuste os parâmetros \,a,\;b,\;c\, do modelo
Z = a x^{2} + b y + c
de modo a minimizar, em soma de quadrados, o desvio entre o modelo e os dados experimentais. Em seguida, com os parâmetros ajustados, devemos prever o valor de Z para (x,y)=(8,6) e escolher a opção mais próxima entre as alternativas fornecidas.
Os dados fornecidos são (vou listar ponto a ponto para não perder nada):
\begin{array}{r|r|r} x & y & Z\\hline -3 & 4 & -26{,}6\\\\ -2 & 5 & 0{,}8\\\\ -1 & -1 & -1{,}5\\\\ 0 & 2 & 12{,}5\\\\ 1 & -4 & -10{,}9\\\\ 2 & 2 & -7{,}6\\\\ 3 & 1 & -37{,}5 \end{array}
Resumo do que devemos fornecer:
  • Ajustar \,a,b,c pelo método dos mínimos quadrados com os 7 pontos acima.
  • Calcular \,Z(8,6)=a\cdot 8^{2} + b\cdot 6 + c.
  • Escolher a melhor aproximação entre as opções (A) a (H).

Passo 2

Qual método vamos usar (explicação didática curta e motivação): como o modelo é linear nos parâmetros \,a,b,c (apesar de não ser linear em x por haver o termo x^{2}, isso é irrelevante — o modelo é linear nos coeficientes), o ajuste por mínimos quadrados pode ser feito montando a matriz de projeto (design matrix) e resolvendo as equações normais. Isso é padrão e rápido para fazer à mão ou com uma planilha.
Breve teoria (bem mastigada):
  • Se escrevemos os n dados como vetor \,z\in\mathbb{R}^{n} e a matriz de projeto \,A\in\mathbb{R}^{n\times 3} tal que cada linha corresponde a um ponto (x,y) com colunas \,x^{2},\;y,\;1, então o modelo é
A\theta \approx z,
onde \displaystyle \theta=\begin{pmatrix}a\\[4pt] b\\[4pt] c\end{pmatrix}.
  • O critério dos mínimos quadrados minimiza \|A\theta - z\|^{2}. Fazendo derivada em relação a \theta e igualando a zero chega-se às equações normais
A^{T}A\,\theta = A^{T} z.
Resolver esse sistema (matricial 3×3) dá os coeficientes ótimos \theta.]

Passo 3

Construção explícita da matriz de projeto \,A e do vetor de observações \,z. Para cada ponto a linha de A é (x^{2},\;y,\;1).
Os 7 vetores linha correspondentes são:
\begin{array}{l} x=-3,\;y=4 \Rightarrow (9,\;4,\;1)\\\ x=-2,\;y=5 \Rightarrow (4,\;5,\;1)\\\ x=-1,\;y=-1 \Rightarrow (1,\;-1,\;1)\\\ x=0,\;y=2 \Rightarrow (0,\;2,\;1)\\\ x=1,\;y=-4 \Rightarrow (1,\;-4,\;1)\\\ x=2,\;y=2 \Rightarrow (4,\;2,\;1)\\\ x=3,\;y=1 \Rightarrow (9,\;1,\;1) \end{array}
Portanto a matriz \,A e o vetor \,z são:
A=\begin{pmatrix} 9 & 4 & 1\\[2pt] 4 & 5 & 1\\[2pt] 1 & -1 & 1\\[2pt] 0 & 2 & 1\\[2pt] 1 & -4 & 1\\[2pt] 4 & 2 & 1\\[2pt] 9 & 1 & 1 \end{pmatrix},\qquad z=\begin{pmatrix} -26{,}6\\[2pt] 0{,}8\\[2pt] -1{,}5\\[2pt] 12{,}5\\[2pt] -10{,}9\\[2pt] -7{,}6\\[2pt] -37{,}5 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular A^{T}A. Vamos primeiro calcular as somas necessárias (explico cada soma para ficar cristalino):
  • Soma das colunas \,x^{2}: \displaystyle \sum x^{2} = 9+4+1+0+1+4+9 = 28.
  • Soma dos y: \displaystyle \sum y = 4+5-1+2-4+2+1 = 9.
  • Número de pontos: \,n=7.
  • Soma dos quadrados de x^{2}: \displaystyle \sum (x^{2})^{2} = 9^{2}+4^{2}+1^{2}+0^{2}+1^{2}+4^{2}+9^{2} = 196.
  • Soma de x^{2}\,y: \displaystyle \sum x^{2}y = 9\cdot4 + 4\cdot5 + 1\cdot(-1) + 0\cdot2 + 1\cdot(-4) + 4\cdot2 + 9\cdot1 = 68.
  • Soma de y^{2}: \displaystyle \sum y^{2} = 4^{2}+5^{2}+(-1)^{2}+2^{2}+(-4)^{2}+2^{2}+1^{2} = 67.
Com isso,
A^{T}A = \begin{pmatrix} \sum (x^{2})^{2} & \sum x^{2}y & \sum x^{2}\\[4pt] \sum x^{2}y & \sum y^{2} & \sum y\\[4pt] \sum x^{2} & \sum y & n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 196 & 68 & 28\\[4pt] 68 & 67 & 9\\[4pt] 28 & 9 & 7 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular o lado direito A^{T} z. Precisamos de:
\begin{aligned} \sum x^{2} z &= 9(-26{,}6)+4(0{,}8)+1(-1{,}5)+0(12{,}5)+1(-10{,}9)+4(-7{,}6)+9(-37{,}5),\\\ \sum y z &= 4(-26{,}6)+5(0{,}8)+(-1)(-1{,}5)+2(12{,}5)+(-4)(-10{,}9)+2(-7{,}6)+1(-37{,}5),\\\ \sum z &= -26{,}6+0{,}8-1{,}5+12{,}5-10{,}9-7{,}6-37{,}5. \end{aligned}
Fazendo as contas (mostrando os produtos intermediários):
\begin{aligned} \sum x^{2} z &= -239{,}4 + 3{,}2 -1{,}5 + 0 -10{,}9 -30{,}4 -337{,}5 = -616{,}5,\\[4pt] \sum y z &= -106{,}4 + 4{,}0 + 1{,}5 + 25{,}0 + 43{,}6 -15{,}2 -37{,}5 = -85{,}0,\\[4pt] \sum z &= -70{,}8. \end{aligned}
Logo,
A^{T} z = \begin{pmatrix}-616{,}5\\[4pt]-85{,}0\\[4pt]-70{,}8\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora resolvemos as equações normais
\begin{pmatrix} 196 & 68 & 28\\[4pt] 68 & 67 & 9\\[4pt] 28 & 9 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\[4pt] b\\[4pt] c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-616{,}5\\[4pt]-85{,}0\\[4pt]-70{,}8\end{pmatrix}.
Vou fazer eliminação gaussiana com contas explícitas (dou os multiplicadores e o resultado de cada etapa para você poder replicar na prova):
Matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|c} 196 & 68 & 28 & -616{,}5\\[4pt] 68 & 67 & 9 & -85{,}0\\[4pt] 28 & 9 & 7 & -70{,}8 \end{array}\right]
  1. Elimino a primeira coluna nas linhas 2 e 3 usando a linha 1.
  • Multiplicador para linha 2: f_{2}=\dfrac{68}{196}=\dfrac{17}{49}\approx 0{,}3469387755.
    Subtraindo f_{2}\timeslinha1 de linha2 obtemos a nova linha2: \text{linha2}\leftarrow(0,\;43{,}4081632653,\;-0{,}7142857143\;|\;129{,}0).
  • Multiplicador para linha 3: f_{3}=\dfrac{28}{196}=\dfrac{1}{7}\approx 0{,}1428571429.
    Subtraindo f_{3}\timeslinha1 de linha3 obtemos a nova linha3: \text{linha3}\leftarrow(0,\;-0{,}7142857143,\;3\;|\;17{,}2714285714).
A matriz agora (etapa intermediária) é
\left[\begin{array}{ccc|c} 196 & 68 & 28 & -616{,}5\\[4pt] 0 & 43{,}4081632653 & -0{,}7142857143 & 129{,}0\\[4pt] 0 & -0{,}7142857143 & 3 & 17{,}2714285714 \end{array}\right].
  1. Elimino a coluna 2 na linha 3 usando a nova linha 2. Multiplicador
g=\dfrac{-0{,}7142857143}{43{,}4081632653}\approx -0{,}016458.
Fazendo \text{linha3}\leftarrow\text{linha3} - g\cdot\text{linha2} cancela a coluna 2 da linha 3. Resolvendo isso chegamos ao sistema triangular superior equivalente (aqui já apresento o resultado da eliminação):
Depois da eliminação obtemos as equações triangulares (escritas em forma escalar para clareza):
\begin{aligned} 196\,a &+ 68\,b &+ 28\,c &= -616{,}5,\\[4pt] 43{,}4081632653\,b &-0{,}7142857143\,c &= 129{,}0,\\[4pt] \phantom{43{,}4}0\,b &+ 181{,}6\,c &= 1178{,}609387755102. \end{aligned}
(Obs.: o número 181{,}6 e o RHS 1178{,}609387755102 aparecem ao combinar os termos numéricos; dei esses valores já simplificados da eliminação para seguir com a resolução.)
  1. Resolver por substituição:
  • Da terceira linha:
181{,}6\,c = 1178{,}609387755102 \quad\Rightarrow\quad c \approx \dfrac{1178{,}609387755102}{181{,}6}\approx 6{,}4901398.
  • Substituindo na segunda linha:
43{,}4081632653\,b -0{,}7142857143\cdot(6{,}4901398) = 129{,}0
que dá
b \approx 3{,}07858716.
  • Finalmente substituindo b e c na primeira equação:
196\,a + 68(3{,}07858716) + 28(6{,}4901398) = -616{,}5,
portanto
a \approx -5{,}1406538777.]

Passo 7

Resumo dos parâmetros ajustados (valores arredondados razoavelmente, suficientes para prever Z):
a \approx -5{,}1406538777,\qquad b \approx 3{,}07858716,\qquad c \approx 6{,}4901398.
Se você quiser memorizar: a é negativo (o termo em x^{2} “vira para baixo”), b é positivo (dependência linear em y) e c é cerca de 6{,}49.

Passo 8

Agora calculamos a predição para (x,y)=(8,6):
Z(8,6) = a\cdot 8^{2} + b\cdot 6 + c = a\cdot 64 + 6b + c.
Substituindo os valores:
\begin{aligned} a\cdot 64 &\approx -5{,}1406538777 \times 64 \approx -329{,}00184817,\\[4pt] 6b &\approx 6\times 3{,}07858716 \approx 18{,}47152296,\\[4pt] c &\approx 6{,}4901398. \end{aligned}
Somando:
Z(8,6) \approx -329{,}00184817 + 18{,}47152296 + 6{,}4901398 \approx -304{,}04018541.
Portanto o valor previsto é aproximadamente -304{,}04, cuja melhor aproximação entre as opções fornecidas é -304{,}0, alternativa (H).]

Resposta

(H) -304.0

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