Q13:

Seja A uma matriz quadrada. Considere o sistema linear A \vec{x}=\vec{b}. Considere as afirmativas abaixo:
I - Se \operatorname{det} A \neq 0, o sistema pode não ter solução.
II - Se o sistema tem solução única para \vec{b}=\overrightarrow{0}, então \operatorname{det} A= 0.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Todas são falsas.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada A e o sistema linear
A\vec{x} = \vec{b}.
O que precisamos do conteúdo de álgebra linear é:
– se \det A \neq 0, então A é invertível e o sistema tem solução única para todo \vec b;
– para o caso homogêneo \vec b=\vec 0, sempre existe a solução trivial \vec x=\vec 0, e ela é única justamente quando A é invertível.

Passo 2

Analisando a afirmativa I:
“Se \det A \neq 0, o sistema pode não ter solução.”
Mas se \det A\neq 0, então A é invertível e existe solução única para todo \vec b. Logo, I é falsa.

Passo 3

Analisando a afirmativa II:
“Se o sistema tem solução única para \vec b=\vec 0, então \det A = 0.”
O sistema homogêneo A\vec x=\vec0 tem sempre a solução trivial \vec x=\vec0. Essa solução é única exatamente quando A é invertível, ou seja, quando \det A\neq 0. A afirmação diz o contrário, portanto II também é falsa.

Passo 4

Como I e II são falsas, a opção correta é a que diz que todas as afirmativas são falsas.

Resposta

(C) Todas são falsas.

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