Q14 *
1 ponto
É possível estender de forma contínua a primitiva
da função
, de forma que
. Assinale o valor de
:
(a)
(b)
(c)
(d)
1 ponto
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado dá a função
definida para
e pede o valor de
, onde
é uma primitiva de
que pode ser estendida de forma contínua até
com
.
Informações relevantes:
-
para . - Queremos uma primitiva
tal que para e . - Precisamos encontrar
.
Passo 2
Interpretação do que significa “estender de forma contínua a primitiva com
”: a primitiva que satisfaz
é exatamente a função definida por integral imprópria
para
. Essa é a escolha natural porque a função definida assim é derivável em
com derivada
(Teorema Fundamental do Cálculo para integrais impropriedades quando convergentes) e tem
por construção. Então basta calcular
.
Antes de integrar, é preciso garantir que a integral imprópria converge em
. Como
é integrável próximo de
(porque
anula a singularidade logarítmica), a integral é bem definida. Mais formalmente pode-se ver que
(veremos isso ao avaliar a primitiva), o que garante convergência.
Passo 3
Calcular uma primitiva indefinida de
por integração por partes. Escolhemos:
-
então . -
então .
A fórmula de integração por partes dá
Calculando a última integral,
logo
Passo 4
Agora avaliamos a integral definida
usando a primitiva encontrada e o limite no extremo inferior:
No ponto
temos
, então o termo superior é
No limite
precisamos calcular
e
. Claramente
. Para
podemos usar o argumento padrão: escrevendo
temos uma forma indeterminada
e aplicando a regra de L’Hospital (derivando numerador e denominador) obtém-se limite
. Assim
Portanto
Passo 5
Interpretação final: a primitiva contínua
com
é
e, em particular,