Q14 *
1 ponto
É possível estender de forma contínua a primitiva F(x) da função f(x)=x^{2} \ln x, x>0, de forma que F(0)=0. Assinale o valor de F(1) :
(a) \frac{1}{3}
(b) -\frac{1}{9}
(c) -\frac{2}{7}
(d) \frac{2}{7}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{2}\ln x definida para x>0 e pede o valor de F(1), onde F é uma primitiva de f que pode ser estendida de forma contínua até x=0 com F(0)=0.
Informações relevantes:
  • f(x)=x^{2}\ln x para x>0.
  • Queremos uma primitiva F tal que F'(x)=f(x) para x>0 e F(0)=0.
  • Precisamos encontrar F(1).

Passo 2

Interpretação do que significa “estender de forma contínua a primitiva com F(0)=0”: a primitiva que satisfaz F(0)=0 é exatamente a função definida por integral imprópria
F(x)=\int_{0}^{x} t^{2}\ln t\;dt,
para x>0. Essa é a escolha natural porque a função definida assim é derivável em x>0 com derivada f(x) (Teorema Fundamental do Cálculo para integrais impropriedades quando convergentes) e tem F(0)=0 por construção. Então basta calcular \displaystyle F(1)=\int_{0}^{1} t^{2}\ln t\;dt.
Antes de integrar, é preciso garantir que a integral imprópria converge em 0. Como t^{2}\ln t é integrável próximo de 0 (porque t^{2} anula a singularidade logarítmica), a integral é bem definida. Mais formalmente pode-se ver que \lim_{t\to0^{+}} t^{3}\ln t=0 (veremos isso ao avaliar a primitiva), o que garante convergência.

Passo 3

Calcular uma primitiva indefinida de t^{2}\ln t por integração por partes. Escolhemos:
  • u=\ln t então du=\dfrac{1}{t}\,dt.
  • dv=t^{2}\,dt então v=\dfrac{t^{3}}{3}.
A fórmula de integração por partes dá
\int t^{2}\ln t\;dt = \frac{t^{3}}{3}\ln t - \int \frac{t^{3}}{3}\cdot\frac{1}{t}\;dt = \frac{t^{3}}{3}\ln t - \frac{1}{3}\int t^{2}\;dt.
Calculando a última integral,
\int t^{2}\;dt = \frac{t^{3}}{3},
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\int t^{2}\ln t\;dt = \frac{t^{3}}{3}\ln t - \frac{1}{3}\cdot\frac{t^{3}}{3} + C = \frac{t^{3}}{3}\ln t - \frac{t^{3}}{9} + C.

Passo 4

Agora avaliamos a integral definida \displaystyle \int_{0}^{1} t^{2}\ln t\;dt usando a primitiva encontrada e o limite no extremo inferior:
\int_{0}^{1} t^{2}\ln t\;dt = \left[\frac{t^{3}}{3}\ln t - \frac{t^{3}}{9}\right]_{t\to0^{+}}^{t=1}.
No ponto t=1 temos \ln 1=0, então o termo superior é
\frac{1^{3}}{3}\ln 1 - \frac{1^{3}}{9} = 0 - \frac{1}{9} = -\frac{1}{9}.
No limite t\to0^{+} precisamos calcular \lim_{t\to0^{+}}\frac{t^{3}}{3}\ln t e \lim_{t\to0^{+}}\frac{t^{3}}{9}. Claramente \lim_{t\to0^{+}}\frac{t^{3}}{9}=0. Para \lim_{t\to0^{+}}t^{3}\ln t podemos usar o argumento padrão: escrevendo t^{3}\ln t=\dfrac{\ln t}{t^{-3}} temos uma forma indeterminada -\infty/\infty e aplicando a regra de L’Hospital (derivando numerador e denominador) obtém-se limite 0. Assim
\lim_{t\to0^{+}}\left(\frac{t^{3}}{3}\ln t - \frac{t^{3}}{9}\right)=0-0=0.
Portanto
\int_{0}^{1} t^{2}\ln t\;dt = -\frac{1}{9} - 0 = -\frac{1}{9}.

Passo 5

Interpretação final: a primitiva contínua F com F(0)=0 é F(x)=\int_{0}^{x} t^{2}\ln t\;dt e, em particular,
F(1)=\int_{0}^{1} t^{2}\ln t\;dt = -\frac{1}{9}.

Resposta

-\dfrac{1}{9}