Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I - O complemento ortogonal de span \{\vec{u}, \vec{v}\}, \operatorname{com}\{\vec{u}, \vec{v}\} LD, não é subespaço vetorial.
II - \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid z=6 y-6 x\right\} não é subespaço vetorial.
III - O conjunto solução do sistema linear homogêneo A \vec{x}=\overrightarrow{0} não é um subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmativas e pede que determinemos quais são verdadeiras ou falsas, escolhendo a alternativa correta entre as opções dadas.
As afirmativas são:
I - “O complemento ortogonal de \operatorname{span}\{\vec{u},\vec{v}\}, sendo \{\vec{u},\vec{v}\} LD, não é subespaço vetorial.”
II - " \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z=6y-6x\} não é subespaço vetorial."
III - “O conjunto solução do sistema linear homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0} não é um subespaço vetorial.”
Informações relevantes dadas:
  • Em I, há menção a \operatorname{span}\{\vec{u},\vec{v}\} e que \{\vec{u},\vec{v}\} é LD (linearmente dependente).
  • Em II, temos uma descrição por equação linear de um conjunto em \mathbb{R}^3.
  • Em III, trata-se do conjunto solução de um sistema homogêneo A\vec{x}=\vec{0}.
O que é pedido: decidir a veracidade de cada afirmativa e, com isso, escolher a alternativa correta entre (A) a (H).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar com calma e detalhe o que significa ser um subespaço vetorial de \mathbb{R}^n. Um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^n é subespaço vetorial se e somente se satisfaz três propriedades (podemos usar uma versão reduzida porque trabalhamos em espaços vetoriais):
  1. \vec{0}\in W (contém o vetor zero).
  2. Fechado sob adição: se \vec{u}\in W e \vec{v}\in W, então \vec{u}+\vec{v}\in W.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: se \vec{u}\in W e c\in\mathbb{R}, então c\vec{u}\in W.
Essas três verificações cobrem tudo. Em provas rápidas, muitas vezes usamos fatos conhecidos equivalentes: por exemplo, se um conjunto pode ser escrito como \operatorname{span}\{\dots\} então é subespaço; ou se é núcleo (kernel) de uma transformação linear, também é subespaço.

Passo 3

Vamos tratar I: “O complemento ortogonal de \operatorname{span}\{\vec{u},\vec{v}\}, com \{\vec{u},\vec{v}\} LD, não é subespaço vetorial.”
Primeiro explico o que é complemento ortogonal (de modo simples): dado um subconjunto S\subseteq\mathbb{R}^n, o complemento ortogonal S^\perp é o conjunto de todos os vetores que são ortogonais a todo vetor de S:
S^\perp=\{\vec{w}\in\mathbb{R}^n \mid \vec{w}\cdot \vec{s}=0\\ \text{para todo }\vec{s}\in S\}.
Propriedade importante (e fácil de demonstrar): para qualquer S, o conjunto S^\perp é sempre um subespaço vetorial. Vou provar rapidamente essa propriedade (pois ela é central aqui):
Prova rápida de que S^\perp é subespaço:
  • O vetor \vec{0} satisfaz \vec{0}\cdot\vec{s}=0 para todo \vec{s}\in S, então \vec{0}\in S^\perp.
  • Se \vec{u},\vec{v}\in S^\perp, então para todo \vec{s}\in S temos \vec{u}\cdot\vec{s}=0 e \vec{v}\cdot\vec{s}=0. Logo
(\vec{u}+\vec{v})\cdot\vec{s}=\vec{u}\cdot\vec{s}+\vec{v}\cdot\vec{s}=0+0=0,
portanto \vec{u}+\vec{v}\in S^\perp.
  • Se c\in\mathbb{R} e \vec{u}\in S^\perp, então para todo \vec{s}\in S temos
(c\vec{u})\cdot\vec{s}=c(\vec{u}\cdot\vec{s})=c\cdot 0=0,
portanto c\vec{u}\in S^\perp.
Assim S^\perp satisfaz as três propriedades e é subespaço.
Conclusão para I: a dependência linear ou independência de \{\vec{u},\vec{v}\} não afeta o fato de que o complemento ortogonal é um subespaço. Portanto a afirmativa I, que diz que esse complemento “não é subespaço vetorial”, é falsa.
Para fixar: se \{\vec{u},\vec{v}\} é LD então \operatorname{span}\{\vec{u},\vec{v}\} é na verdade uma reta (ou o trivial \{\vec{0}\}), e o complemento ortogonal é um plano (ou todo \mathbb{R}^n), que são subespaços.

Passo 4

Exemplo concreto (para sentir a intuição): tome \vec{u}=(1,0,0) e \vec{v}=(2,0,0) — são LD. Então \operatorname{span}\{\vec{u},\vec{v}\}=\{(t,0,0)\mid t\in\mathbb{R}\}. O complemento ortogonal é
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid (x,y,z)\cdot(1,0,0)=0\}=\{(0,y,z)\},
que é claramente um subespaço (um plano passando pela origem). Isso reforça que a afirmativa I é falsa.

Passo 5

Agora tratamos II: o conjunto
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z=6y-6x\}.
Queremos ver se W é subespaço. Vou mostrar de duas maneiras (você pode escolher uma na prova; aqui uso a mais direta e a da parametrização para ficar bem claro).
Verificação por propriedades:
  • Vetor zero: \vec{0}=(0,0,0) satisfaz 0=6\cdot 0-6\cdot 0, logo \vec{0}\in W.
  • Fechamento por soma: sejam (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) em W. Então z_1=6y_1-6x_1 e z_2=6y_2-6x_2. Soma:
z_1+z_2 = 6(y_1+y_2)-6(x_1+x_2),
logo (x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2) também satisfaz a equação e está em W.
  • Fechamento por escalar: se c\in\mathbb{R} e (x,y,z)\in W com z=6y-6x, então
(cz)=6(cy)-6(cx),
logo c(x,y,z)\in W.
Portanto W é subespaço. Outra visão (mais rápida para prova): parametrizamos
(x,y,z)=(x,y,6y-6x)=x(1,0,-6)+y(0,1,6),
ou seja W=\operatorname{span}\{(1,0,-6),(0,1,6)\}, e todo span é subespaço. Conclusão: a afirmativa II, que diz que esse conjunto “não é subespaço vetorial”, é falsa.

Passo 6

Agora III: “O conjunto solução do sistema homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0} não é um subespaço vetorial.”
Interpretação: o conjunto solução de A\vec{x}=\vec{0} é exatamente o núcleo (kernel) da transformação linear associada à matriz A:
\ker(A)=\{\vec{x}\in\mathbb{R}^n \mid A\vec{x}=\vec{0}\}.
Prova de que \ker(A) é subespaço:
  • \vec{0} satisfaz A\vec{0}=\vec{0}, logo \vec{0}\in\ker(A).
  • Se \vec{u},\vec{v}\in\ker(A), então A\vec{u}=\vec{0} e A\vec{v}=\vec{0}. Assim
A(\vec{u}+\vec{v})=A\vec{u}+A\vec{v}=\vec{0}+\vec{0}=\vec{0},
logo \vec{u}+\vec{v}\in\ker(A).
  • Se c\in\mathbb{R} e \vec{u}\in\ker(A), então
A(c\vec{u})=cA\vec{u}=c\vec{0}=\vec{0},
logo c\vec{u}\in\ker(A).
Portanto a solução do sistema homogêneo é sempre um subespaço. Logo a afirmativa III (que diz que não é subespaço) é falsa.

Passo 7

Resumo das conclusões:
  • I é falsa (complemento ortogonal é sempre subespaço).
  • II é falsa (o conjunto é um plano que passa pela origem; é \operatorname{span} de dois vetores).
  • III é falsa (o conjunto solução de A\vec{x}=\vec{0} é \ker(A), que é subespaço).
Portanto todas as três afirmativas são falsas.

Resposta

(A) Todas são falsas.

Exercícios relacionados