Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I - O complemento ortogonal de span
LD, não é subespaço vetorial.
II -
não é subespaço vetorial.
III - O conjunto solução do sistema linear homogêneo
não é um subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
I - O complemento ortogonal de span
II -
III - O conjunto solução do sistema linear homogêneo
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmativas e pede que determinemos quais são verdadeiras ou falsas, escolhendo a alternativa correta entre as opções dadas.
As afirmativas são:
I - “O complemento ortogonal de , sendo
LD, não é subespaço vetorial.”
II - " não é subespaço vetorial."
III - “O conjunto solução do sistema linear homogêneo não é um subespaço vetorial.”
I - “O complemento ortogonal de
II - "
III - “O conjunto solução do sistema linear homogêneo
Informações relevantes dadas:
- Em I, há menção a
e que é LD (linearmente dependente). - Em II, temos uma descrição por equação linear de um conjunto em
. - Em III, trata-se do conjunto solução de um sistema homogêneo
.
O que é pedido: decidir a veracidade de cada afirmativa e, com isso, escolher a alternativa correta entre (A) a (H).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar com calma e detalhe o que significa ser um subespaço vetorial de
. Um subconjunto
é subespaço vetorial se e somente se satisfaz três propriedades (podemos usar uma versão reduzida porque trabalhamos em espaços vetoriais):
-
(contém o vetor zero). - Fechado sob adição: se
e , então . - Fechado sob multiplicação por escalar: se
e , então .
Essas três verificações cobrem tudo. Em provas rápidas, muitas vezes usamos fatos conhecidos equivalentes: por exemplo, se um conjunto pode ser escrito como
então é subespaço; ou se é núcleo (kernel) de uma transformação linear, também é subespaço.
Passo 3
Vamos tratar I: “O complemento ortogonal de
, com
LD, não é subespaço vetorial.”
Primeiro explico o que é complemento ortogonal (de modo simples): dado um subconjunto
, o complemento ortogonal
é o conjunto de todos os vetores que são ortogonais a todo vetor de
:
Propriedade importante (e fácil de demonstrar): para qualquer
, o conjunto
é sempre um subespaço vetorial. Vou provar rapidamente essa propriedade (pois ela é central aqui):
Prova rápida de que
é subespaço:
- O vetor
satisfaz para todo , então . - Se
, então para todo temos e . Logo
portanto
.
- Se
e , então para todo temos
portanto
.
Assim
satisfaz as três propriedades e é subespaço.
Conclusão para I: a dependência linear ou independência de
não afeta o fato de que o complemento ortogonal é um subespaço. Portanto a afirmativa I, que diz que esse complemento “não é subespaço vetorial”, é falsa.
Para fixar: se
é LD então
é na verdade uma reta (ou o trivial
), e o complemento ortogonal é um plano (ou todo
), que são subespaços.
Passo 4
Exemplo concreto (para sentir a intuição): tome
e
— são LD. Então
. O complemento ortogonal é
que é claramente um subespaço (um plano passando pela origem). Isso reforça que a afirmativa I é falsa.
Passo 5
Agora tratamos II: o conjunto
Queremos ver se
é subespaço. Vou mostrar de duas maneiras (você pode escolher uma na prova; aqui uso a mais direta e a da parametrização para ficar bem claro).
Verificação por propriedades:
- Vetor zero:
satisfaz , logo . - Fechamento por soma: sejam
e em . Então e . Soma:
logo
também satisfaz a equação e está em
.
- Fechamento por escalar: se
e com , então
logo
.
Portanto
é subespaço. Outra visão (mais rápida para prova): parametrizamos
ou seja
, e todo span é subespaço. Conclusão: a afirmativa II, que diz que esse conjunto “não é subespaço vetorial”, é falsa.
Passo 6
Agora III: “O conjunto solução do sistema homogêneo
não é um subespaço vetorial.”
Interpretação: o conjunto solução de
é exatamente o núcleo (kernel) da transformação linear associada à matriz
:
Prova de que
é subespaço:
-
satisfaz , logo . - Se
, então e . Assim
logo
.
- Se
e , então
logo
.
Portanto a solução do sistema homogêneo é sempre um subespaço. Logo a afirmativa III (que diz que não é subespaço) é falsa.
Passo 7
Resumo das conclusões:
- I é falsa (complemento ortogonal é sempre subespaço).
- II é falsa (o conjunto é um plano que passa pela origem; é
de dois vetores). - III é falsa (o conjunto solução de
é , que é subespaço).
Portanto todas as três afirmativas são falsas.
Resposta
(A) Todas são falsas.