de \mathbb{R}^{5} e o vetor \vec{v}=(9,-6,15,-12,2).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{4} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Passo 1
O enunciado dá uma base ortogonal \beta=\{b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5}\} de \mathbb{R}^{5} (os vetores estão fornecidos) e o vetor
\vec{v}=(9,-6,15,-12,2).
Pede-se a entrada x_{4} do vetor de coordenadas \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta}, ou seja, o coeficiente da combinação linear de \vec{v} relativo ao quarto vetor da base \beta. Informações relevantes listadas:
Não se pede para resolver qualquer sistema linear completo; a dica indica que podemos usar a ortogonalidade da base.]
Passo 2
Teoria usada (explicada passo a passo, sem pular etapas):
Se \{b_{1},\dots,b_{n}\} é uma base ortogonal de \mathbb{R}^{n} (os vetores são mutuamente ortogonais, possivelmente não normalizados), então todo vetor \vec{v} pode ser escrito de forma única como
\vec{v}=x_{1}b_{1}+\cdots+x_{n}b_{n}.
Tomando produto interno (produto escalar usual em \mathbb{R}^{n}) com um dos vetores da base b_{j} obtemos
Pelo bilinearidade e simetria do produto interno e pela ortogonalidade (isto é, \langle b_{i},b_{j}\rangle=0 para i\ne j), todos os termos com i\ne j desaparecem, sobrando apenas
Explicando símbolos: \langle u,w\rangle é o produto escalar (soma das componentes correspondentes multiplicadas). \langle b_{j},b_{j}\rangle é o quadrado da norma de b_{j} (um número positivo se b_{j}\neq 0), que aparece no denominador — por isso verificamos que não é zero.