Q16: Considere a base ORTOGONAL de
\beta=\left\{\left[\begin{array}{r} 6 \\\ -1 \\\ 4 \\\ 1 \\\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -1 \\\ 2 \\\ 3 \\\ -2 \\\ -2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 2 \\\ -2 \\\ -2 \\\ -3 \\\ -3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 4 \\\ 8 \\\ -4 \\\ 3 \\\ -3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 1 \\\ 2 \\\ -1 \\\ -4 \\\ 4 \end{array}\right]\right\}
de
\mathbb{R}^{5} e o vetor
\vec{v}=(9,-6,15,-12,2).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{4} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado dá uma base ortogonal \beta=\{b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5}\} de \mathbb{R}^{5} (os vetores estão fornecidos) e o vetor
\vec{v}=(9,-6,15,-12,2).
Pede-se a entrada x_{4} do vetor de coordenadas \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta}, ou seja, o coeficiente da combinação linear de \vec{v} relativo ao quarto vetor da base \beta. Informações relevantes listadas:
b_{4}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]8\\[4pt]-4\\[4pt]3\\[4pt]-3\end{pmatrix},\qquad \vec{v}=\begin{pmatrix}9\\[4pt]-6\\[4pt]15\\[4pt]-12\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Não se pede para resolver qualquer sistema linear completo; a dica indica que podemos usar a ortogonalidade da base.]

Passo 2

Teoria usada (explicada passo a passo, sem pular etapas):
  • Se \{b_{1},\dots,b_{n}\} é uma base ortogonal de \mathbb{R}^{n} (os vetores são mutuamente ortogonais, possivelmente não normalizados), então todo vetor \vec{v} pode ser escrito de forma única como
\vec{v}=x_{1}b_{1}+\cdots+x_{n}b_{n}.
  • Tomando produto interno (produto escalar usual em \mathbb{R}^{n}) com um dos vetores da base b_{j} obtemos
\langle \vec{v},b_{j}\rangle = \langle x_{1}b_{1}+\cdots+x_{n}b_{n},\,b_{j}\rangle.
  • Pelo bilinearidade e simetria do produto interno e pela ortogonalidade (isto é, \langle b_{i},b_{j}\rangle=0 para i\ne j), todos os termos com i\ne j desaparecem, sobrando apenas
\langle \vec{v},b_{j}\rangle = x_{j}\langle b_{j},b_{j}\rangle.
  • Portanto o coeficiente x_{j} é dado por
x_{j}=\frac{\langle \vec{v},b_{j}\rangle}{\langle b_{j},b_{j}\rangle}.
Explicando símbolos: \langle u,w\rangle é o produto escalar (soma das componentes correspondentes multiplicadas). \langle b_{j},b_{j}\rangle é o quadrado da norma de b_{j} (um número positivo se b_{j}\neq 0), que aparece no denominador — por isso verificamos que não é zero.

Passo 3

Aplicamos a fórmula para j=4:
x_{4}=\frac{\langle \vec{v},b_{4}\rangle}{\langle b_{4},b_{4}\rangle}.
Calculemos primeiro o produto escalar \langle \vec{v},b_{4}\rangle. Pelo produto escalar componente a componente:
\langle \vec{v},b_{4}\rangle =9\cdot 4 + (-6)\cdot 8 + 15\cdot(-4) + (-12)\cdot 3 + 2\cdot(-3).
Agora faço cada produto:
9\cdot 4 = 36,\quad (-6)\cdot 8 = -48,\quad 15\cdot(-4) = -60,
(-12)\cdot 3 = -36,\quad 2\cdot(-3) = -6.
Somando:
\langle \vec{v},b_{4}\rangle = 36 -48 -60 -36 -6 = -114.

Passo 4

Agora calculamos \langle b_{4},b_{4}\rangle, que é a soma dos quadrados das componentes de b_{4}:
\langle b_{4},b_{4}\rangle = 4^{2}+8^{2}+(-4)^{2}+3^{2}+(-3)^{2}.
Calculando:
4^{2}=16,\quad 8^{2}=64,\quad (-4)^{2}=16,\quad 3^{2}=9,\quad (-3)^{2}=9.
Somando:
\langle b_{4},b_{4}\rangle = 16+64+16+9+9 = 114.
Observação: o denominador é diferente de zero, então a fórmula é válida.

Passo 5

Finalmente:
x_{4}=\frac{\langle \vec{v},b_{4}\rangle}{\langle b_{4},b_{4}\rangle}=\frac{-114}{114}=-1.
Pausa motivacional rápida: deu certinho e ficou uma conta bonita porque o numerador e o denominador são iguais em módulo — legal!

Resposta

-1

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