e o vetor \vec{v}=(-3,-17,-16,16,-5).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{4} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
é dado. Seja [\!v\!]_{\beta}=x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}) o vetor de coordenadas de v na base \beta. A pergunta é: calcular a entrada x_{4} de x.
Passo 2
Propriedade chave (explicada): se \{b_{1},\dots,b_{n}\} é uma base ortogonal de \mathbb{R}^{n} (ortogonal com respeito ao produto interno usual), então ao escrever
v=\sum_{i=1}^{n} x_{i}\,b_{i},
podemos obter cada coordenada x_{j} fazendo o produto interno com b_{j}. Isso porque, ao fazer \langle v,b_{j}\rangle, todos os termos \langle b_{i},b_{j}\rangle com i\neq j são zero (ortogonalidade), sobrando apenas
Simplificando a fração, 152\cdot 2=304, logo a simplificação dá 2.
Passo 6
Para fixar a ideia com um exemplo rápido e intuitivo: suponha vetores em \mathbb{R}^{2}u=(1,0) e w=(0,2) que são ortogonais. Para v=(3,4) a coordenada de v no sentido de w é