Q16: Considere a base ORTOGONAL de \mathbb{R}^{5}
\beta=\left\{\left[\begin{array}{r} -2 \\\\ 2 \\\\ -1 \\\\ 1 \\\\ -3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ 3 \\\\ -1 \\\\ 1 \\\\ 2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ -1 \\\\ 3 \\\\ 5 \\\\ 2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 5 \\\\ -5 \\\\ -7 \\\\ 7 \\\\ -2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ -1 \\\\ -3 \\\\ -1 \\\\ 2 \end{array}\right]\right\}
e o vetor \vec{v}=(-3,-17,-16,16,-5).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{4} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)

Passo 1

O enunciado dá:
\beta=\{b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5}\}
com
b_{1}=\begin{pmatrix}-2\\\ 2\\\ -1\\\ 1\\\ -3\end{pmatrix},\; b_{2}=\begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ -1\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix},\; b_{3}=\begin{pmatrix}-3\\\ -1\\\ 3\\\ 5\\\ 2\end{pmatrix},\; b_{4}=\begin{pmatrix}5\\\ -5\\\ -7\\\ 7\\\ -2\end{pmatrix},\; b_{5}=\begin{pmatrix}-3\\\ -1\\\ -3\\\ -1\\\ 2\end{pmatrix},
a base é ortogonal (ou seja, vetores mutuamente ortogonais), e o vetor
v=\begin{pmatrix}-3\\\ -17\\\ -16\\\ 16\\\ -5\end{pmatrix}
é dado. Seja [\!v\!]_{\beta}=x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}) o vetor de coordenadas de v na base \beta. A pergunta é: calcular a entrada x_{4} de x.

Passo 2

Propriedade chave (explicada): se \{b_{1},\dots,b_{n}\} é uma base ortogonal de \mathbb{R}^{n} (ortogonal com respeito ao produto interno usual), então ao escrever
v=\sum_{i=1}^{n} x_{i}\,b_{i},
podemos obter cada coordenada x_{j} fazendo o produto interno com b_{j}. Isso porque, ao fazer \langle v,b_{j}\rangle, todos os termos \langle b_{i},b_{j}\rangle com i\neq j são zero (ortogonalidade), sobrando apenas
\langle v,b_{j}\rangle = x_{j}\,\langle b_{j},b_{j}\rangle.
Daí a fórmula prática:
x_{j}=\frac{\langle v,b_{j}\rangle}{\langle b_{j},b_{j}\rangle}.
Aqui \langle \cdot,\cdot\rangle é o produto interno euclidiano (produto escalar), que para vetores u=(u_{1},\dots,u_{n}) e w=(w_{1},\dots,w_{n}) é
\langle u,w\rangle = \sum_{k=1}^{n} u_{k}w_{k},
e \langle b_{j},b_{j}\rangle é o quadrado da norma de b_{j}.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso j=4: precisamos calcular o numerador \langle v,b_{4}\rangle.
Escrevendo coordenada a coordenada e multiplicando:
\langle v,b_{4}\rangle = (-3)\cdot 5 + (-17)\cdot(-5) + (-16)\cdot(-7) + 16\cdot 7 + (-5)\cdot(-2).
Calculemos termo a termo:
(-3)\cdot 5 = -15,
(-17)\cdot(-5) = 85,
(-16)\cdot(-7) = 112,
16\cdot 7 = 112,
(-5)\cdot(-2) = 10.
Somando os termos:
\langle v,b_{4}\rangle = -15 + 85 + 112 + 112 + 10.
Primeiro -15+85=70. Depois 70+112=182. Depois 182+112=294. Finalmente 294+10=304.
Logo
\langle v,b_{4}\rangle = 304.

Passo 4

Agora o denominador \langle b_{4},b_{4}\rangle (o quadrado da norma de b_{4}):
\langle b_{4},b_{4}\rangle = 5^{2}+(-5)^{2}+(-7)^{2}+7^{2}+(-2)^{2}.
Calculando:
5^{2}=25,\quad (-5)^{2}=25,\quad (-7)^{2}=49,\quad 7^{2}=49,\quad (-2)^{2}=4.
Somando:
25+25+49+49+4 = 152.
Portanto
\langle b_{4},b_{4}\rangle = 152.

Passo 5

Usando a fórmula
x_{4}=\frac{\langle v,b_{4}\rangle}{\langle b_{4},b_{4}\rangle}=\frac{304}{152}.
Simplificando a fração, 152\cdot 2=304, logo a simplificação dá 2.

Passo 6

Para fixar a ideia com um exemplo rápido e intuitivo: suponha vetores em \mathbb{R}^{2} u=(1,0) e w=(0,2) que são ortogonais. Para v=(3,4) a coordenada de v no sentido de w é
\frac{\langle v,w\rangle}{\langle w,w\rangle}=\frac{3\cdot 0 + 4\cdot 2}{0^{2}+2^{2}}=\frac{8}{4}=2,
o que mostra o mesmo mecanismo que usamos acima.

Resposta

2

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