Q18: Considere os subespaços de \mathbb{R}^{3} :
\begin{gathered} H=\operatorname{span}\{(-1,1,-1),(-2,1,-2)\} \text { e } \\\ M=\operatorname{span}\{(-1,0,1)\} \end{gathered}
Encontre o único vetor \vec{x} \in M^{\perp} \cap H da forma \vec{x}=\left(-1, x_{2}, x_{3}\right). O valor de x_{3} é:
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 0
(F) 1
(G) 2
(H) 3

Passo 1

O enunciado dá os subespaços de \mathbb{R}^3
H=\operatorname{span}\{(-1,1,-1),(-2,1,-2)\}
e
M=\operatorname{span}\{(-1,0,1)\}.
Pede-se: encontrar o vetor \vec{x}\in M^{\perp}\cap H que tem a forma \vec{x}=(-1,x_{2},x_{3}). A pergunta final é: qual é o valor de x_{3}? (há alternativas listadas, devemos escolher o valor correto).

Passo 2

Lembra do que significa M^{\perp}: é o conjunto de todos os vetores que são ortogonais a todos os vetores de M. Como M é gerado por (-1,0,1), basta que \vec{x} seja ortogonal a esse gerador. A ortogonalidade é dada pelo produto escalar: dois vetores u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3) são ortogonais se
u\cdot v = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 = 0.
Aqui queremos \vec{x}\cdot(-1,0,1)=0.

Passo 3

Substituo \vec{x}=(-1,x_2,x_3) na condição de ortogonalidade:
(-1,x_2,x_3)\cdot(-1,0,1)=(-1)(-1)+x_2\cdot 0 + x_3\cdot 1.
Calculando os produtos:
(-1)(-1)=1,\quad x_2\cdot 0=0,\quad x_3\cdot 1 = x_3,
logo a soma é
1 + x_3.
A condição de ortogonalidade exige 1 + x_3 = 0.

Passo 4

Da equação 1 + x_3 = 0 obtemos imediatamente
x_3 = -1.
Portanto qualquer vetor da forma (-1,x_2,x_3) em M^{\perp} tem x_3=-1.

Passo 5

Agora verifico rapidamente a compatibilidade com H. Qualquer vetor de H é combinação linear
a(-1,1,-1)+b(-2,1,-2) = (-a-2b,\;a+b,\;-a-2b).
Note que para vetores em H sempre vale que a primeira e a terceira coordenadas são iguais ( x_1=x_3). Se queremos x_1=-1 então necessariamente x_3=-1, que é exatamente o valor encontrado pela condição de M^{\perp}. Portanto não há contradição: x_3=-1 é consistente com H. (A segunda coordenada x_2 pode variar conforme os coeficientes, por isso só x_3 é fixado.)

Resposta

-1

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