Q18: Considere os subespaços de
:
Encontre o único vetor
da forma
. O valor de
é:
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 0
(F) 1
(G) 2
(H) 3
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 0
(F) 1
(G) 2
(H) 3
Passo 1
O enunciado dá os subespaços de
e
Pede-se: encontrar o vetor
que tem a forma
. A pergunta final é: qual é o valor de
? (há alternativas listadas, devemos escolher o valor correto).
Passo 2
Lembra do que significa
: é o conjunto de todos os vetores que são ortogonais a todos os vetores de
. Como
é gerado por
, basta que
seja ortogonal a esse gerador. A ortogonalidade é dada pelo produto escalar: dois vetores
e
são ortogonais se
Aqui queremos
.
Passo 3
Substituo
na condição de ortogonalidade:
Calculando os produtos:
logo a soma é
A condição de ortogonalidade exige
.
Passo 4
Da equação
obtemos imediatamente
Portanto qualquer vetor da forma
em
tem
.
Passo 5
Agora verifico rapidamente a compatibilidade com
. Qualquer vetor de
é combinação linear
Note que para vetores em
sempre vale que a primeira e a terceira coordenadas são iguais (
). Se queremos
então necessariamente
, que é exatamente o valor encontrado pela condição de
. Portanto não há contradição:
é consistente com
. (A segunda coordenada
pode variar conforme os coeficientes, por isso só
é fixado.)