(Q2-ITA/1987) Considere \mathrm{x}=\mathrm{g}(\mathrm{y}) a função inversa da seguinte função:
y=f(x)=x^{2}-x+1, para cada número real x \geq \frac{1}{2}
Nestas condições, a função \mathbf{g} é assim definida:
a) \mathrm{g}(\mathrm{y})=\frac{1}{2}+\sqrt{\mathrm{y}-\frac{3}{4}}, para cada \mathrm{y} \geq \frac{3}{4}
b) \mathrm{g}(\mathrm{y})=\frac{1}{2}+\sqrt{\mathrm{y}-\frac{1}{4}}, para cada \mathrm{y} \geq \frac{1}{4}
c) \mathrm{g}(\mathrm{y})=\sqrt{\mathrm{y}-\frac{3}{4}}, para cada \mathrm{y} \geq \frac{3}{4}
d) g(y)=\sqrt{y-\frac{1}{4}}, para cada y \geq \frac{1}{4}

Passo 1

O enunciado dá a função
y=f(x)=x^{2}-x+1 com domínio restrito a x\geq\frac{1}{2}.
Pede-se encontrar a função inversa x=g(y) (ou escolher, entre as alternativas dadas, qual expressão é a definição correta de g).
Informações fornecidas importantes:
  • Expressão de f: y=x^{2}-x+1.
  • Domínio de f: x\geq\frac{1}{2}.
  • A função inversa g deve ter como domínio o conjunto de valores que y alcança quando x percorre [\,\tfrac{1}{2},\infty).
    O objetivo: determinar explicitamente g(y) e a restrição em y, e então identificar qual alternativa (a), (b), (c) ou (d) está correta.

Passo 2

Verificar se f é invertível no domínio dado e achar a imagem (o alcance) de f nesse domínio.
Primeiro, calcular a derivada de f para estudar monotonicidade:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-x+1\bigr)=2x-1.
Para x\geq\frac{1}{2} temos 2x-1\geq0, ou seja, f'(x)\ge0 nesse intervalo; portanto f é crescente em [\,\tfrac{1}{2},\infty). Como é crescente, é injetora nesse domínio e portanto admite inversa ali definida.
Agora determinar o menor valor de y (a imagem mínima) quando x\geq\tfrac{1}{2}. Como f é crescente e tem ponto crítico em x=\tfrac{1}{2}, o mínimo ocorre em x=\tfrac{1}{2}:
f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}-\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{3}{4}.
Logo a imagem de f sobre o domínio dado é [\,\tfrac{3}{4},\infty). Assim o domínio da inversa g deverá ser y\geq\tfrac{3}{4}.

Passo 3

Encontrar explicitamente a inversa resolvendo a equação y=x^{2}-x+1 para x.
Escrever a equação como quadrática em x:
x^{2}-x+(1-y)=0.
Aplicar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Aqui os coeficientes são a=1, b=-1, c=1-y. O discriminante é
\Delta=b^{2}-4ac = (-1)^{2}-4\cdot1\cdot(1-y)=1-4(1-y)=4y-3.
Para existirem raízes reais é necessário \Delta\geq0, isto é 4y-3\geq0\Rightarrow y\geq\tfrac{3}{4}, consistente com o alcance obtido no Passo 2.
As soluções (as duas raízes) são
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{4y-3}}{2}.
Podemos simplificar \sqrt{4y-3} como 2\sqrt{y-\tfrac{3}{4}} (pois 4y-3=4\bigl(y-\tfrac{3}{4}\bigr)). Assim
x=\frac{1\pm 2\sqrt{y-\tfrac{3}{4}}}{2}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{y-\tfrac{3}{4}}.

Passo 4

Escolher a raiz correta que define a inversa coerente com o domínio original x\geq\tfrac{1}{2}.
Temos duas expressões candidatass para x:
x_{1}=\tfrac{1}{2}+\sqrt{y-\tfrac{3}{4}},\qquad x_{2}=\tfrac{1}{2}-\sqrt{y-\tfrac{3}{4}}.
Para y>\tfrac{3}{4} tem-se \sqrt{y-\tfrac{3}{4}}>0, então x_{1}>\tfrac{1}{2} e x_{2}<\tfrac{1}{2}. Como o domínio original exige x\geq\tfrac{1}{2}, a inversa deve atribuir a cada y\geq\tfrac{3}{4} a solução x_{1}, ou seja, o sinal positivo. No caso limite y=\tfrac{3}{4}, ambas dão x=\tfrac{1}{2}, mas para continuidade e consistência com o domínio escolhe-se a expressão com o +.
Portanto a função inversa é
g(y)=\tfrac{1}{2}+\sqrt{y-\tfrac{3}{4}},\qquad\text{para }y\geq\tfrac{3}{4}.

Passo 5

Comparar com as alternativas fornecidas: a alternativa (a) coincide exatamente com a expressão encontrada e com a restrição y\geq\tfrac{3}{4}. As demais alternativas têm termos ou restrições diferentes e, portanto, estão incorretas.
Força aí! A lógica foi: garantir que f é invertível no intervalo dado, achar o alcance, resolver a quadrática e escolher o sinal que respeita o domínio original.

Resposta

a) \mathrm{g}(\mathrm{y})=\frac{1}{2}+\sqrt{\mathrm{y}-\frac{3}{4}},\\ \text{para cada }\mathrm{y}\geq\frac{3}{4}