(Q2-ITA/1987) Considere
a função inversa da seguinte função:
, para cada número real
Nestas condições, a função
é assim definida:
a)
, para cada
b)
, para cada
c)
, para cada
d)
, para cada
Nestas condições, a função
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá a função
com domínio restrito a
.
Pede-se encontrar a função inversa (ou escolher, entre as alternativas dadas, qual expressão é a definição correta de
).
Informações fornecidas importantes:
Pede-se encontrar a função inversa
Informações fornecidas importantes:
- Expressão de
: . - Domínio de
: . - A função inversa
deve ter como domínio o conjunto de valores que alcança quando percorre .
O objetivo: determinar explicitamentee a restrição em , e então identificar qual alternativa (a), (b), (c) ou (d) está correta.
Passo 2
Verificar se
é invertível no domínio dado e achar a imagem (o alcance) de
nesse domínio.
Primeiro, calcular a derivada de
para estudar monotonicidade:
Para
temos
, ou seja,
nesse intervalo; portanto
é crescente em
. Como é crescente, é injetora nesse domínio e portanto admite inversa ali definida.
Agora determinar o menor valor de
(a imagem mínima) quando
. Como
é crescente e tem ponto crítico em
, o mínimo ocorre em
:
Logo a imagem de
sobre o domínio dado é
. Assim o domínio da inversa
deverá ser
.
Passo 3
Encontrar explicitamente a inversa resolvendo a equação
para
.
Escrever a equação como quadrática em
:
Aplicar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Aqui os coeficientes são
,
,
. O discriminante é
Para existirem raízes reais é necessário
, isto é
, consistente com o alcance obtido no Passo 2.
As soluções (as duas raízes) são
Podemos simplificar
como
(pois
). Assim
Passo 4
Escolher a raiz correta que define a inversa coerente com o domínio original
.
Temos duas expressões candidatass para
:
Para
tem-se
, então
e
. Como o domínio original exige
, a inversa deve atribuir a cada
a solução
, ou seja, o sinal positivo. No caso limite
, ambas dão
, mas para continuidade e consistência com o domínio escolhe-se a expressão com o
.
Portanto a função inversa é
Passo 5
Comparar com as alternativas fornecidas: a alternativa (a) coincide exatamente com a expressão encontrada e com a restrição
. As demais alternativas têm termos ou restrições diferentes e, portanto, estão incorretas.
Força aí! A lógica foi: garantir que
é invertível no intervalo dado, achar o alcance, resolver a quadrática e escolher o sinal que respeita o domínio original.
Resposta
a)