Q2- Partindo da equação de Schrödinger obtenha a equação da continuidade
partial rhopartial t+nabla cdot jmath=0,
onde rho=psi^* psi é a densidade de probabilidade e jmath=hbar2 m i(psi^* nabla psi-psi nabla psi^*) é a corrente de probabilidade.

Passo 1

O enunciado pede que, a partir da equação de Schr"odinger dependente do tempo, a gente obtenha a equação da continuidade
partial rhopartial t + nablacdotjmath = 0,
sabendo que rho = psi^*psi e que
jmath=hbar2mil(psi^*,nablapsi - psi,nablapsi^*r).
O conteúdo é mecânica quântica e vamos precisar usar a equação de Schr"odinger e sua conjugada complexa.

Passo 2

Escrevemos a equação de Schr"odinger e a sua conjugada complexa:
ihbarpartial psipartial t ,=, -hbar^22m,nabla^2psi ,=, Vpsi,
-,ihbarpartial psi^*partial t ,=, -hbar^22m,nabla^2psi^* ,=, Vpsi^*

Passo 3

Multiplicamos a primeira por psi^* e a segunda por psi, para depois subtrairmos uma da outra:
psi^*,ihbarpartial psipartial t ;-;psi,ihbarpartial psi^*partial t ;=; -hbar^22ml(psi^*,nabla^2psi - psi,nabla^2psi^*r)

Passo 4

No lado esquerdo reconhecemos
psi^*,partial psipartial t - psi,partial psi^*partial t =partialpartial t(psi^*psi) =partial rhopartial t,
e no direito usamos a identidade
psi^*,nabla^2psi - psi,nabla^2psi^* =nablacdotl(psi^*,nablapsi - psi,nablapsi^*r)

Passo 5

Substituindo essas expressões em
;ihbar,partialt(psi^*psi) = -hbar^22m,nablacdot(psi^* nablapsi - psi nablapsi^*),
e dividindo por ihbar, obtemos
partial rhopartial t + nablacdotl(hbar2mi(psi^*,nablapsi - psi,nablapsi^*)r) =0
Reconhecemos aí jmath=hbar2mi(psi^*,nablapsi - psi,nablapsi^*).

Resposta

partial rhopartial t + nablacdotjmath = 0

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