Q3: Sabendo que o ponto (0,-9,6, k) pertence ao plano (1,-2,-2,-3)+\operatorname{span}\{(-2,-3,3,-1),(-3,1,-2,-3)\}, assinale o valor de k :
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2
(F) 3
(G) 4
(H) 5

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O ponto a verificar é P=(0,-9,6,k).
  • O plano é dado por um ponto e um gerador: P_0=(1,-2,-2,-3) e os vetores geradores \mathbf{v}_1=(-2,-3,3,-1) e \mathbf{v}_2=(-3,1,-2,-3). Ou seja, o plano é
P_0+\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}.
O que o enunciado pede: determinar o valor de k tal que P pertença a esse plano (escolher a alternativa correta entre as dadas).

Passo 2

Conceito essencial (explicação didática, sem pressa):
  • Dizer que um ponto P pertence ao plano P_0+\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\} significa que existem escalares a e b tais que
P = P_0 + a\,\mathbf{v}_1 + b\,\mathbf{v}_2.
  • Aqui a e b são números reais desconhecidos. A ideia é escrever essa igualdade coordenada a coordenada e resolver para a, b (e depois para k, se necessário).
  • Isso transforma a condição de pertencimento do ponto em um sistema linear de equações sobre a e b. Se o sistema for consistente, obtemos a e b; então a coordenada k é determinada pela quarta equação.

Passo 3

Escrevendo a igualdade vetorial com as coordenadas dadas:
(0,-9,6,k) = (1,-2,-2,-3) + a(-2,-3,3,-1) + b(-3,1,-2,-3).
Igualando coordenada a coordenada obtemos o sistema (cada linha corresponde a uma coordenada):
\begin{cases} 0 = 1 -2a -3b,\\[4pt] -9 = -2 -3a + b,\\[4pt] 6 = -2 +3a -2b,\\[4pt] k = -3 -a -3b. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema para a\) e \(b\) (usando as três primeiras equações). Reescrevendo as três primeiras em forma mais simples: \[\begin{cases} 2a + 3b = 1,\\[4pt] -3a + b = -7,\\[4pt] 3a -2b = 8. \end{cases}
Escolho resolver por substituição usando a segunda equação para isolar b\]. Da segunda equação: \[b = -7 + 3a.\] Substituo esse \(b na primeira equação:
2a + 3(-7+3a) = 1.
Agora calculo passo a passo:
2a -21 +9a = 1,
11a -21 = 1,
11a = 22,
a = 2.
Com a=2, volto para b = -7 + 3a:
b = -7 + 3\cdot 2 = -7 + 6 = -1.
Verificação rápida: uso a terceira equação para checar consistência:
3a -2b = 3\cdot 2 -2(-1) = 6 + 2 = 8,
que coincide com o lado direito 8. Logo o sistema é consistente e a=2,\; b=-1.]

Passo 5

Agora uso a quarta equação para encontrar k:
k = -3 - a - 3b.
Substituindo a=2 e b=-1:
k = -3 - 2 - 3(-1).
Calculo passo a passo:
k = -3 -2 +3,
k = -2.

Passo 6

Conclusão: o valor de k que faz o ponto pertencer ao plano é k=-2. A alternativa correta é a (A).

Resposta

(A) -2