Q5.10 One Joule of work is done on a system, raising its temperature by one degree centigrade. Can this increase in temperature be harnessed to do one Joule of work? Explain.
Passo 1
O enunciado diz que foi realizado um trabalho de
sobre um sistema e isso elevou a sua temperatura em
(ou seja, uma variação de temperatura de
). A pergunta é: essa elevação de temperatura pode ser aproveitada para produzir
de trabalho de volta?
Informações relevantes dadas:
- Trabalho aplicado:
. - Aumento de temperatura do sistema:
. - Presume‑se que a energia associada à elevação de temperatura está armazenada como energia interna do sistema (isto é, como calor disponível para ser trocado), salvo indicação contrária.
O que se pede:
- Determinar se é possível extrair exatamente
de trabalho usando apenas o aumento de temperatura como “fonte”.
Passo 2
Conservação de energia (primeira lei) — o que aconteceu com o
:
A primeira lei da termodinâmica diz que a energia total é conservada. Se não houve troca de calor com o exterior durante o processo de aplicação do trabalho, então todo o trabalho virou aumento da energia interna do sistema. Assim, sob essa suposição razoável,
Essa energia interna adicional pode, em princípio, ser liberada como calor quando o sistema volta à temperatura anterior. Mas atenção: energia interna liberada como calor não é automaticamente igual à energia que se pode transformar em trabalho — aqui entra a segunda lei.
Passo 3
Limite termodinâmico para conversão de calor em trabalho — rendimento máximo (Carnot):
Para transformar calor em trabalho usando uma máquina térmica é preciso operar entre duas temperaturas: a do “reservatório quente” (aqui, o sistema aquecido) e a do “reservatório frio” (por exemplo, o ambiente). O rendimento máximo teórico de uma máquina térmica reversível é o rendimento de Carnot:
onde
é a temperatura absoluta do sistema quente e
é a temperatura absoluta do reservatório frio. Todas as temperaturas devem estar em Kelvin.
Isso significa que, mesmo no melhor caso reversível, apenas a fração
do calor extra disponível pode ser convertida em trabalho; o restante tem de ser entregue ao reservatório frio.
Passo 4
Aplicando Carnot ao nosso caso (pequena elevação de temperatura):
Se o sistema estava inicialmente à temperatura
(em Kelvin) e ficou com
com
, então, supondo que ao resfriar o sistema de volta a
ele libere como calor aproximadamente
, o trabalho máximo que se pode obter com uma máquina ideal entre
e
é
Simplificando,
Para
(caso comum), isso é aproximadamente
Passo 5
Estimativa numérica e conclusão prática:
Tomando um valor típico de temperatura ambiente, por exemplo
, com
, obtemos
ou seja, cerca de
. Isso é muito menor que
.
Portanto, se a ideia é “usar a elevação de temperatura como fonte térmica” e extrair trabalho por meio de uma máquina térmica entre o sistema e o ambiente, não se consegue recuperar os
. O limite imposto pela segunda lei (rendimento de Carnot) impede a conversão completa do calor em trabalho, salvo em condições impossíveis (por exemplo, se o reservatório frio estivesse a
, o que é impossível na prática).
Passo 6
Observação importante sobre reversibilidade e caminhos mecânicos:
Há uma sutileza: se o trabalho original de
foi aplicado por um processo mecânico reversível (por exemplo compressão quasi‑estática de um gás ideal) então, em princípio reversível, pode‑se recuperar esse mesmo
simplesmente revertendo o processo (expansão reversível) — ou seja, recupera‑se o trabalho aplicando o caminho inverso. Nesses casos não se “transforma calor em trabalho” — está‑se invertendo o mesmo procedimento mecânico reversível, e não usando um motor térmico que converte calor a partir de uma diferença de temperatura.
Mas se o que se tem disponível é apenas a diferença de temperatura (sistema quente versus ambiente), e pretende‑se extrair trabalho por um ciclo térmico, então o rendimento é limitado por Carnot e não se recupera
inteiro.
Passo 7
Resumo intuitivo (para motivar e acalmar):
Pensa assim: a energia existe, mas a segunda lei diz que nem toda energia térmica pode virar trabalho útil. Com uma diferença de temperatura tão pequena (
sobre uma base de centenas de kelvin) a fração recuperável é minúscula. Só no caso ideal de reverter exatamente o processo que aqueceu o sistema (processo reversível) consegue‑se voltar a obter o trabalho aplicado; em qualquer processo real irreversível ou se se tenta usar um motor térmico entre o sistema e o ambiente, não se obtém os
de volta.
Resposta
Não, não é possível obter
de trabalho explorando apenas a elevação de temperatura via uma máquina térmica: o trabalho máximo obtido é limitado pelo rendimento de Carnot
, sendo para
e
apenas cerca de
. A única maneira de recuperar exatamente
seria reverter o processo original de forma perfeitamente reversível; caso contrário a segunda lei impede a conversão completa do calor em trabalho.