Q5.10 One Joule of work is done on a system, raising its temperature by one degree centigrade. Can this increase in temperature be harnessed to do one Joule of work? Explain.

Passo 1

O enunciado diz que foi realizado um trabalho de 1\\ \text{J} sobre um sistema e isso elevou a sua temperatura em 1^\circ\text{C} (ou seja, uma variação de temperatura de 1\\ \text{K}). A pergunta é: essa elevação de temperatura pode ser aproveitada para produzir 1\\ \text{J} de trabalho de volta?
Informações relevantes dadas:
  • Trabalho aplicado: W_{\text{in}} = 1\\ \text{J}.
  • Aumento de temperatura do sistema: \Delta T = 1\\ \text{K}.
  • Presume‑se que a energia associada à elevação de temperatura está armazenada como energia interna do sistema (isto é, como calor disponível para ser trocado), salvo indicação contrária.
O que se pede:
  • Determinar se é possível extrair exatamente 1\\ \text{J} de trabalho usando apenas o aumento de temperatura como “fonte”.

Passo 2

Conservação de energia (primeira lei) — o que aconteceu com o 1\\ \text{J}:
A primeira lei da termodinâmica diz que a energia total é conservada. Se não houve troca de calor com o exterior durante o processo de aplicação do trabalho, então todo o trabalho virou aumento da energia interna do sistema. Assim, sob essa suposição razoável,
\Delta U = W_{\text{in}} = 1\\ \text{J}.
Essa energia interna adicional pode, em princípio, ser liberada como calor quando o sistema volta à temperatura anterior. Mas atenção: energia interna liberada como calor não é automaticamente igual à energia que se pode transformar em trabalho — aqui entra a segunda lei.

Passo 3

Limite termodinâmico para conversão de calor em trabalho — rendimento máximo (Carnot):
Para transformar calor em trabalho usando uma máquina térmica é preciso operar entre duas temperaturas: a do “reservatório quente” (aqui, o sistema aquecido) e a do “reservatório frio” (por exemplo, o ambiente). O rendimento máximo teórico de uma máquina térmica reversível é o rendimento de Carnot:
\eta_{\text{Carnot}}=1-\frac{T_{\text{c}}}{T_{\text{h}}},
onde T_{\text{h}} é a temperatura absoluta do sistema quente e T_{\text{c}} é a temperatura absoluta do reservatório frio. Todas as temperaturas devem estar em Kelvin.
Isso significa que, mesmo no melhor caso reversível, apenas a fração \eta_{\text{Carnot}} do calor extra disponível pode ser convertida em trabalho; o restante tem de ser entregue ao reservatório frio.

Passo 4

Aplicando Carnot ao nosso caso (pequena elevação de temperatura):
Se o sistema estava inicialmente à temperatura T (em Kelvin) e ficou com T+\Delta T com \Delta T=1\\ \text{K}, então, supondo que ao resfriar o sistema de volta a T ele libere como calor aproximadamente Q_{\text{hot}}=\Delta U=1\\ \text{J}, o trabalho máximo que se pode obter com uma máquina ideal entre T_{\text{h}}=T+\Delta T e T_{\text{c}}=T é
W_{\max}=\eta_{\text{Carnot}}\;Q_{\text{hot}} = \left(1-\frac{T}{T+\Delta T}\right)\! \cdot 1\\ \text{J}.
Simplificando,
W_{\max}= \frac{\Delta T}{T+\Delta T}\\ \text{J}.
Para \Delta T\ll T (caso comum), isso é aproximadamente
W_{\max}\approx\frac{\Delta T}{T}\\ \text{J}.

Passo 5

Estimativa numérica e conclusão prática:
Tomando um valor típico de temperatura ambiente, por exemplo T\approx 300\\ \text{K}, com \Delta T=1\\ \text{K}, obtemos
W_{\max}\approx\frac{1}{300}\\ \text{J}\approx 0{,}0033\\ \text{J},
ou seja, cerca de 3{,}3\\ \text{mJ}. Isso é muito menor que 1\\ \text{J}.
Portanto, se a ideia é “usar a elevação de temperatura como fonte térmica” e extrair trabalho por meio de uma máquina térmica entre o sistema e o ambiente, não se consegue recuperar os 1\\ \text{J}. O limite imposto pela segunda lei (rendimento de Carnot) impede a conversão completa do calor em trabalho, salvo em condições impossíveis (por exemplo, se o reservatório frio estivesse a T_{\text{c}}=0\\ \text{K}, o que é impossível na prática).

Passo 6

Observação importante sobre reversibilidade e caminhos mecânicos:
Há uma sutileza: se o trabalho original de 1\\ \text{J} foi aplicado por um processo mecânico reversível (por exemplo compressão quasi‑estática de um gás ideal) então, em princípio reversível, pode‑se recuperar esse mesmo 1\\ \text{J} simplesmente revertendo o processo (expansão reversível) — ou seja, recupera‑se o trabalho aplicando o caminho inverso. Nesses casos não se “transforma calor em trabalho” — está‑se invertendo o mesmo procedimento mecânico reversível, e não usando um motor térmico que converte calor a partir de uma diferença de temperatura.
Mas se o que se tem disponível é apenas a diferença de temperatura (sistema quente versus ambiente), e pretende‑se extrair trabalho por um ciclo térmico, então o rendimento é limitado por Carnot e não se recupera 1\\ \text{J} inteiro.

Passo 7

Resumo intuitivo (para motivar e acalmar):
Pensa assim: a energia existe, mas a segunda lei diz que nem toda energia térmica pode virar trabalho útil. Com uma diferença de temperatura tão pequena ( 1\\ \text{K} sobre uma base de centenas de kelvin) a fração recuperável é minúscula. Só no caso ideal de reverter exatamente o processo que aqueceu o sistema (processo reversível) consegue‑se voltar a obter o trabalho aplicado; em qualquer processo real irreversível ou se se tenta usar um motor térmico entre o sistema e o ambiente, não se obtém os 1\\ \text{J} de volta.

Resposta

Não, não é possível obter 1\\ \text{J} de trabalho explorando apenas a elevação de temperatura via uma máquina térmica: o trabalho máximo obtido é limitado pelo rendimento de Carnot \eta=1-T/(T+\Delta T), sendo para \Delta T=1\\ \text{K} e T\sim 300\\ \text{K} apenas cerca de 3{,}3\times10^{-3}\\ \text{J}. A única maneira de recuperar exatamente 1\\ \text{J} seria reverter o processo original de forma perfeitamente reversível; caso contrário a segunda lei impede a conversão completa do calor em trabalho.

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