Q6. A derivado segunda de f(x)=\operatorname{sen}(\pi \exp (3 x)) é f^{\prime \prime}(x). Calcule f^{\prime \prime}(0).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\operatorname{sen}\bigl(\pi \exp(3x)\bigr) e pede para calcular f^{\prime\prime}(0).
Informações importantes que temos:
  • A função é composta: dentro do \operatorname{sen} está a função \pi \exp(3x).
  • O objetivo específico é o valor da segunda derivada no ponto x=0, ou seja, f^{\prime\prime}(0).

Passo 2

Conceitos e regras que vamos usar (explicados de forma direta):
  • Regra da cadeia: se F(x)=g(h(x)), então F'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x). Ou seja, derivar a função externa avaliando na interna e multiplicar pela derivada da interna.
    • Exemplo simples: para g(t)=\sin t e h(x)=2x, \dfrac{d}{dx}\sin(2x)=\cos(2x)\cdot 2.
  • Derivadas básicas: \dfrac{d}{dx}\sin t=\cos t\cdot t', \dfrac{d}{dx}\cos t=-\sin t\cdot t', \dfrac{d}{dx}e^{ax}=a e^{ax}.
  • Regra do produto: se F(x)=u(x)v(x), então F'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
    Vamos aplicar essas regras passo a passo à nossa função composta.

Passo 3

Defino a função interna para simplificar a escrita:
u(x)=\pi \exp(3x).
Agora calculo a derivada de u. Como \exp(3x)=e^{3x} e \dfrac{d}{dx}e^{3x}=3e^{3x}, temos:
u'(x)=\pi\cdot 3 e^{3x}=3\pi e^{3x}.

Passo 4

Agora derivo f(x)=\sin(u(x)) usando a regra da cadeia. A fórmula é
f'(x)=\cos(u(x))\cdot u'(x).
Substituindo u(x) e u'(x):
f'(x)=\cos\bigl(\pi e^{3x}\bigr)\cdot 3\pi e^{3x}.
Para ficar mais claro, escrevo em ordem mais amigável:
f'(x)=3\pi e^{3x}\cos\bigl(\pi e^{3x}\bigr).

Passo 5

Para obter f''(x) precisamos derivar f'(x). Note que f'(x) é produto de duas funções:
f'(x)=a(x)\,b(x), \qquad \text{onde }a(x)=3\pi e^{3x},\quad b(x)=\cos\bigl(\pi e^{3x}\bigr).
Usamos a regra do produto:
f''(x)=a'(x)b(x)+a(x)b'(x).
Calculo a'(x) e b'(x) separadamente.

Passo 6

Derivada de a(x)=3\pi e^{3x}. Como constante vezes exponencial:
a'(x)=3\pi\cdot 3 e^{3x}=9\pi e^{3x}.
Agora b(x)=\cos\bigl(u(x)\bigr) com u(x)=\pi e^{3x}. Aplicando cadeia:
b'(x)=-\sin\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Usando u'(x)=3\pi e^{3x} (Passo 3):
b'(x)=-\sin\bigl(\pi e^{3x}\bigr)\cdot 3\pi e^{3x}.

Passo 7

Substituo a'(x), a(x), b(x) e b'(x) na expressão do passo 5:
\begin{aligned} f''(x) &= \bigl(9\pi e^{3x}\bigr)\cdot \cos\bigl(\pi e^{3x}\bigr) + \bigl(3\pi e^{3x}\bigr)\cdot\bigl(-\sin\bigl(\pi e^{3x}\bigr)\cdot 3\pi e^{3x}\bigr)\\[4pt] &= 9\pi e^{3x}\cos\bigl(\pi e^{3x}\bigr) - 9\pi^{2} e^{6x}\sin\bigl(\pi e^{3x}\bigr). \end{aligned}]

Passo 8

Agora avalio em x=0. Primeiro calculo os termos auxiliares:
e^{3\cdot 0}=1,\qquad e^{6\cdot 0}=1,\qquad \pi e^{3\cdot 0}=\pi.
Sei que \sin(\pi)=0 e \cos(\pi)=-1. Substituindo em f''(x):
\begin{aligned} f''(0) &= 9\pi\cdot 1\cdot \cos(\pi) - 9\pi^{2}\cdot 1\cdot \sin(\pi)\\[4pt] &= 9\pi\cdot(-1) - 9\pi^{2}\cdot 0\\[4pt] &= -9\pi. \end{aligned}]

Resposta

-9\pi

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