Q6. A derivado segunda de
é
. Calcule
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular
.
Informações importantes que temos:
Informações importantes que temos:
- A função é composta: dentro do
está a função . - O objetivo específico é o valor da segunda derivada no ponto
, ou seja, .
Passo 2
Conceitos e regras que vamos usar (explicados de forma direta):
- Regra da cadeia: se
, então . Ou seja, derivar a função externa avaliando na interna e multiplicar pela derivada da interna. - Exemplo simples: para
e , .
- Exemplo simples: para
- Derivadas básicas:
, , . - Regra do produto: se
, então .
Vamos aplicar essas regras passo a passo à nossa função composta.
Passo 3
Defino a função interna para simplificar a escrita:
Agora calculo a derivada de
. Como
e
, temos:
Passo 4
Agora derivo
usando a regra da cadeia. A fórmula é
Substituindo
e
:
Para ficar mais claro, escrevo em ordem mais amigável:
Passo 5
Para obter
precisamos derivar
. Note que
é produto de duas funções:
Usamos a regra do produto:
Calculo
e
separadamente.
Passo 6
Derivada de
. Como constante vezes exponencial:
Agora
com
. Aplicando cadeia:
Usando
(Passo 3):
Passo 7
Substituo
,
,
e
na expressão do passo 5:
Passo 8
Agora avalio em
. Primeiro calculo os termos auxiliares:
Sei que
e
. Substituindo em
: