Q7) Considere um poço quadrado com uma parede infinita em
e uma parede de altura
em
. (a) Para o caso
, obtenha soluções para a equação de Schrödinger dentro do poço
e na região além (
) que satisfaçam as condições de contorno
apropriadas em
e em
. (b) Faça cumprir as condições de correspondência adequadas em
para encontrar uma equação para as energias permitidas do sistema. (c) Existem condições para as quais nenhuma solução é possível? Explique.
apropriadas em
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras. Vou listar o que é dado e o que devemos encontrar:
- Dado: potencial unidimensional com uma parede infinita em
- Condição adicional: estamos no caso
e na região além
que satisfaçam as condições de contorno em e .
(b) Impor as condições de continuidade em(psi e psi’ contínuos) e obter a equação que determina as energias permitidas.
(c) Verificar se existem condições (valores de parâmetros) em que nenhuma solução (estado ligado) é possível; explicar e dar a condição.
As constantes físicas são a massa
da partícula e a constante de Planck reduzida
. A equação a resolver é a dependente do tempo estacionária:
Passo 2
Escrever e resolver a equação de Schrödinger em cada região com as soluções gerais.
Região I:
, temos
. A equação fica
Defina
A equação é
, cuja solução geral é
onde
e
são constantes a determinar.
Condição em
: parede infinita em
implica
. Aplicando:
Logo a solução interna reduz-se a
(Comentário didático: a parede infinita força o nódulo em
; isso elimina o cosseno.)
Região II:
, temos
com
. A equação é
Defina
A equação é
cuja solução geral é
Condição em
: a função de onda deve ser limitada e normalizável, então a componente que cresce exponencialmente deve ser zero:
. Assim
(Comentário didático: para
a região
é classically proibida; a onda decai exponencialmente para a direita.)
Passo 3
Impor as condições de correspondência em
: continuidade da função de onda e de sua derivada.
Continuidade da função de onda em
:
Continuidade da derivada em
:
Calcule as derivadas:
Em
:
Passo 4
Eliminar as constantes
e
para obter uma equação apenas em
e
(e portanto em
).
Divida a equação da derivada pela equação da continuidade (para eliminar
e
):
Isto dá
Esta é a equação transcendental que relaciona
e
. Reescrevendo em termos de
:
Podemos simplificar cancelando
:
(Comentário didático: é uma equação transcendental — não se resolve algebricamente; as raízes (valores de
) devem ser obtidas graficamente ou numericamente. Também é comum escrever a equação como
.)
Passo 5
Tornar a equação adimensional para análise de existência de soluções e contagem de estados.
Defina as quantidades adimensionais
Como
, temos
e
. A equação
torna-se
Observações úteis:
- O lado direito é negativo (pois a raiz é positiva e o sinal é negativo). Portanto o lado esquerdo
também deve ser negativo. - A função
tem sinais alternantes entre intervalos por causa de : ela é positiva em , negativa em , positiva em , etc.
Passo 6
Deduzir quando existem soluções (parte (c)) e contar quantos estados ligados cabem.
Para que exista pelo menos uma solução devemos ter um
tal que
seja negativo. O primeiro intervalo em que
é negativo é
. Portanto é necessário que o valor máximo possível
satisfaça
Se
não existe
em
com
, logo não há solução (nenhum estado ligado) com
.
Mais geralmente, há exatamente uma raiz
em cada intervalo onde
é negativa e
. Esses intervalos são
Assim o número de estados ligados
é o número de inteiros
tais que
excede o limite inferior do
-ésimo intervalo negativo, isto é
. Portanto
onde
é a parte inteira. Em termos de parâmetros originais,
logo a condição mínima para existir pelo menos um estado é
(Comentário didático: essa conta dá a ideia física — se a barreira é muito baixa ou o poço muito estreito, não cabe nenhum estado ligado.)
Passo 7
Observações finais sobre solução e métodos de obtenção numérica.
- A equação final
(ou ) normalmente é resolvida graficamente: traça-se e e busca-se interseções em . Cada interseção dá um e então . - Cuidado se você decidir elevar ao quadrado para isolar
: ao quadrar pode introduzir soluções espúrias, porque a equação original tem sinais. Sempre verifique o sinal físico (a igualdade de sinais) depois de encontrar raízes da equação quadrada. - Para limites conhecidos: se
(parede direita infinita), então e a condição limite reduz-se a , dando , isto é os níveis do poço infinito com n inteiro. Nosso caso é o intermediário entre poço infinito e uma barreira finita.
Resposta
(a)
para
, com
;
para
, com
.\n
(b) As energias permitidas são as soluções da equação transcendental , isto é
. (Equivalente adimensional:
, com
,
.)\n
(c) Sim. Não existem estados ligados se . Em geral o número de estados ligados é
.
(b) As energias permitidas são as soluções da equação transcendental
(c) Sim. Não existem estados ligados se