Q7) Considere um poço quadrado com uma parede infinita em x=0 e uma parede de altura U em x=L. (a) Para o caso E<U, obtenha soluções para a equação de Schrödinger dentro do poço (0 \leq x \leq L) e na região além ( x>L ) que satisfaçam as condições de contorno
apropriadas em x=0 e em x=\infty. (b) Faça cumprir as condições de correspondência adequadas em x=L para encontrar uma equação para as energias permitidas do sistema. (c) Existem condições para as quais nenhuma solução é possível? Explique.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras. Vou listar o que é dado e o que devemos encontrar:
  • Dado: potencial unidimensional com uma parede infinita em x=0\) e uma parede de altura finita \(U\) em \(x=L\). Ou seja, \[V(x)=\begin{cases} 0, & 0\le x\le L,\\[4pt] U, & x>L,\\[4pt] +\infty, & x<0. \end{cases}
  • Condição adicional: estamos no caso E<U\] (energia do estado ligada, menor que a altura da parede). - Perguntas: (a) Encontrar as soluções da equação de Schrödinger no intervalo interno \(0\le x\le L e na região além x>L que satisfaçam as condições de contorno em x=0 e x\to\infty.
    (b) Impor as condições de continuidade em x=L (psi e psi’ contínuos) e obter a equação que determina as energias permitidas.
    (c) Verificar se existem condições (valores de parâmetros) em que nenhuma solução (estado ligado) é possível; explicar e dar a condição.
As constantes físicas são a massa m da partícula e a constante de Planck reduzida \hbar. A equação a resolver é a dependente do tempo estacionária:
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+V(x)\psi=E\psi.]

Passo 2

Escrever e resolver a equação de Schrödinger em cada região com as soluções gerais.
Região I: 0\le x\le L, temos V(x)=0. A equação fica
-\frac{\hbar^2}{2m}\psi''(x)=E\psi(x).
Defina
k\equiv\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\qquad(k>0).
A equação é \psi''(x)+k^2\psi(x)=0, cuja solução geral é
\psi_I(x)=A\sin(kx)+B\cos(kx),
onde A e B são constantes a determinar.
Condição em x=0: parede infinita em x=0 implica \psi(0)=0. Aplicando:
\psi_I(0)=A\sin 0 + B\cos 0 = B = 0.
Logo a solução interna reduz-se a
\psi_I(x)=A\sin(kx).
(Comentário didático: a parede infinita força o nódulo em x=0; isso elimina o cosseno.)
Região II: x>L, temos V(x)=U com E<U. A equação é
-\frac{\hbar^2}{2m}\psi''(x)+U\psi(x)=E\psi(x)\quad\Rightarrow\quad \psi''(x)=\frac{2m(U-E)}{\hbar^2}\psi(x).
Defina
\kappa\equiv\frac{\sqrt{2m(U-E)}}{\hbar}\qquad(\kappa>0).
A equação é \psi''(x)-\kappa^2\psi(x)=0 cuja solução geral é
\psi_{II}(x)=C e^{-\kappa x}+D e^{+\kappa x}.
Condição em x\to\infty: a função de onda deve ser limitada e normalizável, então a componente que cresce exponencialmente deve ser zero: D=0. Assim
\psi_{II}(x)=C e^{-\kappa x}.
(Comentário didático: para E<U a região x>L é classically proibida; a onda decai exponencialmente para a direita.)

Passo 3

Impor as condições de correspondência em x=L: continuidade da função de onda e de sua derivada.
Continuidade da função de onda em x=L:
\psi_I(L)=\psi_{II}(L)\quad\Rightarrow\quad A\sin(kL)=C e^{-\kappa L}.
Continuidade da derivada em x=L:
\psi_I'(L)=\psi_{II}'(L).
Calcule as derivadas:
\psi_I'(x)=A k\cos(kx),\qquad \psi_{II}'(x)=-C\kappa e^{-\kappa x}.
Em x=L:
A k\cos(kL) = -C\kappa e^{-\kappa L}.

Passo 4

Eliminar as constantes A e C para obter uma equação apenas em k e \kappa (e portanto em E).
Divida a equação da derivada pela equação da continuidade (para eliminar A e C e^{-\kappa L}):
\frac{A k\cos(kL)}{A\sin(kL)}=\frac{-C\kappa e^{-\kappa L}}{C e^{-\kappa L}}.
Isto dá
k\cot(kL) = -\kappa.
Esta é a equação transcendental que relaciona k e \kappa. Reescrevendo em termos de E:
\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\cot\!\bigg(\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}L\bigg) = -\frac{\sqrt{2m(U-E)}}{\hbar}.
Podemos simplificar cancelando \sqrt{2m}/\hbar:
\sqrt{E}\,\cot\!\bigg(\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}L\bigg) = -\sqrt{U-E}.
(Comentário didático: é uma equação transcendental — não se resolve algebricamente; as raízes (valores de E) devem ser obtidas graficamente ou numericamente. Também é comum escrever a equação como \tan(kL)=-k/\kappa.)

Passo 5

Tornar a equação adimensional para análise de existência de soluções e contagem de estados.
Defina as quantidades adimensionais
z\equiv kL=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}L,\qquad z_0\equiv\frac{\sqrt{2mU}}{\hbar}L.
Como E<U, temos 0<z<z_0 e \kappa L=\sqrt{z_0^2-z^2}. A equação k\cot(kL)=-\kappa torna-se
z\cot z = -\sqrt{z_0^2-z^2}.
Observações úteis:
  • O lado direito é negativo (pois a raiz é positiva e o sinal é negativo). Portanto o lado esquerdo z\cot z também deve ser negativo.
  • A função z\cot z tem sinais alternantes entre intervalos por causa de \cot z: ela é positiva em 0<z<\pi/2, negativa em \pi/2<z<\pi, positiva em \pi<z<3\pi/2, etc.

Passo 6

Deduzir quando existem soluções (parte (c)) e contar quantos estados ligados cabem.
Para que exista pelo menos uma solução devemos ter um z\in(0,z_0) tal que z\cot z seja negativo. O primeiro intervalo em que z\cot z é negativo é z\in(\pi/2,\pi). Portanto é necessário que o valor máximo possível z_0 satisfaça
z_0>\frac{\pi}{2}.
Se z_0\le\pi/2 não existe z em (0,z_0) com z\cot z<0, logo não há solução (nenhum estado ligado) com E<U.
Mais geralmente, há exatamente uma raiz z em cada intervalo onde \cot z é negativa e z<z_0. Esses intervalos são
\left(\frac{\pi}{2},\pi\right),\\ \left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right),\\ \left(\frac{5\pi}{2},3\pi\right),\\ \ldots
Assim o número de estados ligados N é o número de inteiros n\ge 1 tais que z_0 excede o limite inferior do n-ésimo intervalo negativo, isto é z_0>(2N-1)\pi/2. Portanto
N=\left\lfloor\frac{z_0}{\pi}+\frac{1}{2}\right\rfloor
onde \lfloor\cdot\rfloor é a parte inteira. Em termos de parâmetros originais,
z_0=\frac{\sqrt{2mU}}{\hbar}L,
logo a condição mínima para existir pelo menos um estado é
\frac{\sqrt{2mU}}{\hbar}L>\frac{\pi}{2}.
(Comentário didático: essa conta dá a ideia física — se a barreira é muito baixa ou o poço muito estreito, não cabe nenhum estado ligado.)

Passo 7

Observações finais sobre solução e métodos de obtenção numérica.
  • A equação final k\cot(kL)=-\kappa (ou z\cot z=-\sqrt{z_0^2-z^2}) normalmente é resolvida graficamente: traça-se y_1(z)=z\cot z e y_2(z)=-\sqrt{z_0^2-z^2} e busca-se interseções em 0<z<z_0. Cada interseção dá um z e então E=\hbar^2 z^2/(2mL^2).
  • Cuidado se você decidir elevar ao quadrado para isolar z: ao quadrar pode introduzir soluções espúrias, porque a equação original tem sinais. Sempre verifique o sinal físico (a igualdade de sinais) depois de encontrar raízes da equação quadrada.
  • Para limites conhecidos: se U\to\infty (parede direita infinita), então \kappa\to\infty e a condição limite reduz-se a \sin(kL)=0, dando kL=n\pi, isto é os níveis do poço infinito com n inteiro. Nosso caso é o intermediário entre poço infinito e uma barreira finita.

Resposta

(a) \psi_I(x)=A\sin(kx) para 0\le x\le L, com k=\dfrac{\sqrt{2mE}}{\hbar}; \psi_{II}(x)=C e^{-\kappa x} para x>L, com \kappa=\dfrac{\sqrt{2m(U-E)}}{\hbar}.\n
(b) As energias permitidas são as soluções da equação transcendental \;k\cot(kL)=-\kappa\;, isto é \;\sqrt{E}\,\cot\!\big(\dfrac{\sqrt{2mE}}{\hbar}L\big)=-\sqrt{U-E}\;. (Equivalente adimensional: z\cot z=-\sqrt{z_0^2-z^2}, com z=kL, z_0=\dfrac{\sqrt{2mU}}{\hbar}L.)\n
(c) Sim. Não existem estados ligados se \;z_0=\dfrac{\sqrt{2mU}}{\hbar}L\le\dfrac{\pi}{2}\;. Em geral o número de estados ligados é N=\left\lfloor\dfrac{z_0}{\pi}+\dfrac{1}{2}\right\rfloor.