De quantas maneiras uma pessoa pode comprar 5 sorvetes em uma sorveteria que vende 8 tipos de sorvete?

Passo 1

O enunciado pede o número de maneiras de escolher, sem ordem, 5 sorvetes dentre 8 sabores disponíveis, permitindo repetir sabores. Esse é um problema de combinação com repetição.

Passo 2

Para modelar, seja x_i a quantidade de sorvetes do sabor i, com i=1,2,\dots,8. Como a pessoa compra 5 sorvetes, temos o sistema
x_1 + x_2 + \cdots + x_8 = 5,
onde cada x_i é um inteiro não-negativo x_i \ge 0.

Passo 3

Pela fórmula de combinação com repetição (ou teorema das “barras e estrelas”), o número de soluções não-negativas de
\sum_{i=1}^n x_i = k
é
\binom{n + k - 1}{k}.
Aqui n = 8 (sabores) e k = 5 (sorvetes), então o total de maneiras é
\binom{8 + 5 - 1}{5} \;=\;\binom{12}{5}.

Passo 4

Calculando \binom{12}{5}:
\binom{12}{5} = \frac{12!}{5!\,7!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 792.

Resposta

792 maneiras.

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