De quantas maneiras podemos permutar os inteiros
de forma que nenhum inteiro par fique em sua posição natural?
Passo 1
O enunciado pede o número de permutações dos inteiros de 1 a 9 em que nenhum dos inteiros pares
ocupa sua posição natural. O conteúdo aqui é Princípio da Inclusão-Exclusão aplicado a posições proibidas em permutações.
Passo 2
Seja
o conjunto de permutações em que o inteiro par
fica em sua posição natural. Queremos o complemento de
. Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, o total desejado é
Passo 3
Interpretando cada termo:
- Para
pares fixados, escolhemos quais pares estão em posição e permutamos livremente os outros elementos, gerando permutações. - O sinal
alterna adicionando e subtraindo as interseções de eventos .
Passo 4
Vamos calcular cada termo:
Passo 5
Substituindo em
temos