De quantas maneiras podemos permutar os inteiros 1,2,3,4,5,6,7,8,9 de forma que nenhum inteiro par fique em sua posição natural?

Passo 1

O enunciado pede o número de permutações dos inteiros de 1 a 9 em que nenhum dos inteiros pares \{2,4,6,8\} ocupa sua posição natural. O conteúdo aqui é Princípio da Inclusão-Exclusão aplicado a posições proibidas em permutações.

Passo 2

Seja A_i o conjunto de permutações em que o inteiro par p_i\in\{2,4,6,8\} fica em sua posição natural. Queremos o complemento de A_2\cup A_4\cup A_6\cup A_8. Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, o total desejado é
\sum_{j=0}^{4} (-1)^j \,\binom{4}{j}\,(9-j)!.

Passo 3

Interpretando cada termo:
  • Para j pares fixados, escolhemos \binom{4}{j} quais pares estão em posição e permutamos livremente os outros 9-j elementos, gerando (9-j)! permutações.
  • O sinal (-1)^j alterna adicionando e subtraindo as interseções de j eventos A_i.

Passo 4

Vamos calcular cada termo:
9! = 362880,
\binom{4}{1}8! = 4 \times 40320 = 161280,
\binom{4}{2}7! = 6 \times 5040 = 30240,
\binom{4}{3}6! = 4 \times 720 = 2880,
\binom{4}{4}5! = 1 \times 120 = 120.

Passo 5

Substituindo em
9! \;-\;\binom{4}{1}8! \;+\;\binom{4}{2}7! \;-\;\binom{4}{3}6! \;+\;\binom{4}{4}5!,
temos
362880 - 161280 + 30240 - 2880 + 120 = 229080.

Resposta

229080

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