Quantas são as soluções inteiras positivas de x_{1}+ \ldots+x_{5}=17, nas quais x_{4} \geqslant 3 ?

Passo 1

O enunciado pede o número de soluções inteiras positivas de
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=17
com a restrição x_{4}\ge 3. O conteúdo aqui é combinatória de “estrelas e barras” (stars and bars), que conta partições inteiras positivas.

Passo 2

Para impor x_{4}\ge 3, fazemos a troca
y_{4}=x_{4}-2,
de modo que y_{4}\ge1. Assim a soma fica
x_{1}+x_{2}+x_{3}+y_{4}+x_{5}=17-2=15,
com todas as cinco variáveis positivas.

Passo 3

Pelo princípio de estrelas e barras, o número de soluções inteiras positivas de
\sum_{i=1}^{5}z_{i}=15
é
\binom{15-1}{5-1}=\binom{14}{4}=1001.

Resposta

1001

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