Qual a quantidade de franjas por unidade de distância de uma interferência destrutiva devido à incidência de luz coerente em uma cunha de vidro com índice de refração dado por
envolto no ar.
Passo 1
O que o problema pede: determinar a quantidade de franjas por unidade de distância (ou seja, a densidade de franjas, número de franjas por comprimento) para as franjas de interferência destrutiva geradas pela incidência de luz coerente numa cunha de vidro com índice de refração
imersa no ar. \n
Informações e convenções que vamos usar (o enunciado não dá todas explicitamente, então eu introduzo os símbolos necessários): \n
Informações e convenções que vamos usar (o enunciado não dá todas explicitamente, então eu introduzo os símbolos necessários): \n
- O índice do meio externo (ar) é
. \n - Chamarei de
o comprimento de onda da luz no ar (comprimento de onda da luz incidente). \n - Chamarei de
o ângulo da cunha (ângulo entre as faces da cunha); para pontos medidos ao longo da cunha a espessura cresce linearmente com a distância. \n - Vou considerar incidência próxima à normal (caso usual em experimentos de cunha) — assim a expressão vale para incidência próxima de
. \n
Nada mais será assumido além do indicado acima.
Passo 2
Entendendo fisicamente o que interfere (aula rápida e leve): \n
Quando um feixe coerente incide sobre a cunha de vidro, há duas reflexões relevantes que se recombinam e produzem interferência: \n
Quando um feixe coerente incide sobre a cunha de vidro, há duas reflexões relevantes que se recombinam e produzem interferência: \n
- reflexão na superfície frontal (ar
vidro); \n - reflexão na superfície traseira (vidro
ar) depois que a luz atravessa a espessura da cunha e volta. \n
Cada reflexão pode introduzir mudança de fase de(semi-onda) se a reflexão ocorre quando a luz passa de um meio menos denso para um mais denso. No nosso caso: \n
- reflexão na superfície frontal (ar
vidro, índice crescente) produz uma mudança de fase de ; \n - reflexão na face interna (vidro
ar, índice decrescente) não produz mudança de fase adicional. \n
Além disso, a luz que vai e volta pela espessurado vidro acumula uma diferença de caminho óptico (porque percorre duas vezes a espessura dentro do vidro e o índice do vidro é ). Essa diferença de caminho corresponde a uma diferença de fase.
Passo 3
Cálculo da diferença de fase entre os dois raios refletores: \n
- A diferença de caminho óptico é
. Convertendo em fase, multiplicamos por , então a contribuição de caminho é . \n - Há ainda a mudança de fase
causada pela reflexão na face frontal. \n
Portanto a diferença total de fase entre os dois raios refletidos é
Aqui
é o comprimento de onda no ar (que é praticamente o mesmo que o comprimento de onda entre as reflexões quando a incidência é externa).
Passo 4
Condição para interferência destrutiva (franjas escuras) no feixe refletido: \n
Interferência destrutiva ocorre quando as ondas chegam com diferença de fase igual a um múltiplo ímpar de , ou seja
Interferência destrutiva ocorre quando as ondas chegam com diferença de fase igual a um múltiplo ímpar de
Substituindo
da etapa anterior:
Dividindo por
e simplificando:
Logo a espessura
que dá uma franja destrutiva de ordem
é
Observe que
dá
, correspondente à franja junto à aresta da cunha.
Passo 5
Relacionando a espessura
com a posição ao longo da cunha: \n
Geometria da cunha: a espessura cresce linearmente com a distância medida ao longo da cunha a partir da aresta, segundo
Geometria da cunha: a espessura cresce linearmente com a distância
(Para ângulo pequeno
em radianos.) \n
Igualando obtemos a posição da franja de ordem
:
Igualando
A separação entre duas franjas consecutivas (escuras) é
Esse
é o espaçamento entre franjas destrutivas.
Passo 6
Densidade de franjas (quantidade de franjas por unidade de distância): \n
A densidade (franjas por comprimento) é o inverso do espaçamento:
A densidade
Se a cunha tem ângulo pequeno (
em radianos com
), usamos
e a expressão fica aproximada por
Unidades:
tem unidades de
(por exemplo, franjas por metro) se
e as dimensões estiverem em metros.