Qual a quantidade de franjas por unidade de distância de uma interferência destrutiva devido à incidência de luz coerente em uma cunha de vidro com índice de refração dado por n envolto no ar.

Passo 1

O que o problema pede: determinar a quantidade de franjas por unidade de distância (ou seja, a densidade de franjas, número de franjas por comprimento) para as franjas de interferência destrutiva geradas pela incidência de luz coerente numa cunha de vidro com índice de refração n imersa no ar. \n
Informações e convenções que vamos usar (o enunciado não dá todas explicitamente, então eu introduzo os símbolos necessários): \n
  • O índice do meio externo (ar) é n_{\text{ar}}=1. \n
  • Chamarei de \lambda o comprimento de onda da luz no ar (comprimento de onda da luz incidente). \n
  • Chamarei de \alpha o ângulo da cunha (ângulo entre as faces da cunha); para pontos medidos ao longo da cunha a espessura cresce linearmente com a distância. \n
  • Vou considerar incidência próxima à normal (caso usual em experimentos de cunha) — assim a expressão vale para incidência próxima de 0^\circ. \n
    Nada mais será assumido além do indicado acima.

Passo 2

Entendendo fisicamente o que interfere (aula rápida e leve): \n
Quando um feixe coerente incide sobre a cunha de vidro, há duas reflexões relevantes que se recombinam e produzem interferência: \n
  1. reflexão na superfície frontal (ar \to vidro); \n
  2. reflexão na superfície traseira (vidro \to ar) depois que a luz atravessa a espessura t da cunha e volta. \n
    Cada reflexão pode introduzir mudança de fase de \pi (semi-onda) se a reflexão ocorre quando a luz passa de um meio menos denso para um mais denso. No nosso caso: \n
  • reflexão na superfície frontal (ar \to vidro, índice crescente) produz uma mudança de fase de \pi; \n
  • reflexão na face interna (vidro \to ar, índice decrescente) não produz mudança de fase adicional. \n
    Além disso, a luz que vai e volta pela espessura t do vidro acumula uma diferença de caminho óptico 2 n t (porque percorre duas vezes a espessura dentro do vidro e o índice do vidro é n). Essa diferença de caminho corresponde a uma diferença de fase.

Passo 3

Cálculo da diferença de fase entre os dois raios refletores: \n
  • A diferença de caminho óptico é 2 n t. Convertendo em fase, multiplicamos por 2\pi/\lambda, então a contribuição de caminho é \dfrac{2\pi}{\lambda}\,2 n t = \dfrac{4\pi n t}{\lambda}. \n
  • Há ainda a mudança de fase \pi causada pela reflexão na face frontal. \n
    Portanto a diferença total de fase entre os dois raios refletidos é
\Delta\varphi = \frac{4\pi n t}{\lambda} + \pi.
Aqui \lambda é o comprimento de onda no ar (que é praticamente o mesmo que o comprimento de onda entre as reflexões quando a incidência é externa).

Passo 4

Condição para interferência destrutiva (franjas escuras) no feixe refletido: \n
Interferência destrutiva ocorre quando as ondas chegam com diferença de fase igual a um múltiplo ímpar de \pi, ou seja
\Delta\varphi = (2m+1)\pi,\qquad m\in\{0,1,2,\dots\}.
Substituindo \Delta\varphi da etapa anterior:
\frac{4\pi n t}{\lambda} + \pi = (2m+1)\pi.
Dividindo por \pi e simplificando:
\frac{4 n t}{\lambda} + 1 = 2m+1 \quad\Rightarrow\quad \frac{4 n t}{\lambda} = 2m.
Logo a espessura t que dá uma franja destrutiva de ordem m é
t_m = \frac{m\lambda}{2n}.
Observe que m=0 t_0=0, correspondente à franja junto à aresta da cunha.

Passo 5

Relacionando a espessura t com a posição ao longo da cunha: \n
Geometria da cunha: a espessura cresce linearmente com a distância x medida ao longo da cunha a partir da aresta, segundo
t(x)=x\tan\alpha.
(Para ângulo pequeno \tan\alpha\approx\alpha em radianos.) \n
Igualando t(x_m)=t_m obtemos a posição da franja de ordem m:
x_m \tan\alpha = \frac{m\lambda}{2n}\quad\Rightarrow\quad x_m = \frac{m\lambda}{2n\tan\alpha}.
A separação entre duas franjas consecutivas (escuras) é
\Delta x = x_{m+1}-x_m = \frac{\lambda}{2n\tan\alpha}.
Esse \Delta x é o espaçamento entre franjas destrutivas.

Passo 6

Densidade de franjas (quantidade de franjas por unidade de distância): \n
A densidade \rho (franjas por comprimento) é o inverso do espaçamento:
\rho=\frac{1}{\Delta x}=\frac{2n\tan\alpha}{\lambda}.
Se a cunha tem ângulo pequeno ( \alpha em radianos com \alpha\ll1), usamos \tan\alpha\approx\alpha e a expressão fica aproximada por
\rho\approx\frac{2n\alpha}{\lambda}.
Unidades: \rho tem unidades de \text{(comprimento)}^{-1} (por exemplo, franjas por metro) se \lambda e as dimensões estiverem em metros.

Resposta

\rho=\frac{2n\tan\alpha}{\lambda}
\rho\approx\frac{2n\alpha}{\lambda}\quad(\alpha\text{ pequeno})

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