Quanto à convergência das séries
(a)
,
(b)
,
(c)
é correto afirmar que:
(a) Somente (b) converge.
(b) Somente (a) não converge.
(c) Somente (a) converge.
(d) Somente (c) não converge.
(e) Somente (b) não converge.
(f) Somente (c) converge.
(a)
(b)
(c)
é correto afirmar que:
(a) Somente (b) converge.
(b) Somente (a) não converge.
(c) Somente (a) converge.
(d) Somente (c) não converge.
(e) Somente (b) não converge.
(f) Somente (c) converge.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as três séries envolvidas.
-
O enunciado apresenta as séries:
- (a)
. - (b)
. - (c)
.
- (a)
-
A pergunta é: quais dessas séries convergem e quais divergem, para então escolher a alternativa correta entre (a)–(f).
Passo 2
Análise da série (a): verificar comportamento dos termos e aplicar o teste apropriado.
- Defina
. Para todo temos porque para e . - A sequência
é monótona decrescente: como a função é crescente em e , segue que . - Limite dos termos: usando a expansão em série de Taylor
quando , tem-se portanto . - Aplicando o teste de Leibniz (critério de séries alternadas): se
é decrescente e então converge. Logo a série (a) converge. - Convergência absoluta? Considere
. Pelo limite anterior , então por comparação limite com a série harmônica concluímos que diverge. Logo a convergência de (a) é condicional (não é absoluta).
Passo 3
Análise da série (b): verificar monotonicidade dos módulos, aplicar Leibniz e investigar convergência absoluta.
- Defina
. Para grande, é crescente, logo é decrescente e . - Limite:
porque . - Pelo teste de Leibniz, a série
converge (condição de monotonia e termo-nulo satisfeitas). Assim (b) converge. - Convergência absoluta? Analise
. Use o teste de condensação de Cauchy: se é positiva e decrescente, então converge se, e somente se, converge. Aplicando com , Para grande temos , então A sequência de termos cresce exponencialmente com , portanto a soma diverge (os termos nem sequer vão para zero). Assim, pela condensação, diverge. Logo a série (b) não converge absolutamente; sua convergência é condicional.
Passo 4
Análise da série (c): simplificação do expoente e teste de divergência.
- Note que
para todo . Portanto a série (c) é exatamente - Já demonstramos no passo anterior que
diverge (por condensação de Cauchy). Como os termos são positivos, não há alternativa: a série (c) diverge.
Passo 5
Conclusão e correspondência com as alternativas:
- (a) converge (condicionalmente).
- (b) converge (condicionalmente).
- (c) diverge.
Dessa forma apenas (c) não converge, enquanto (a) e (b) convergem. Isso corresponde à alternativa (d).
Resposta
(d)