Quanto à convergência das séries
(a) \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \sin \left(\frac{1}{n}\right),
(b) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\ln (n+1)},
(c) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{2 n}}{\ln (n+1)}
é correto afirmar que:
(a) Somente (b) converge.
(b) Somente (a) não converge.
(c) Somente (a) converge.
(d) Somente (c) não converge.
(e) Somente (b) não converge.
(f) Somente (c) converge.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as três séries envolvidas.
  • O enunciado apresenta as séries:
    • (a) \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\sin\!\left(\frac{1}{n}\right).
    • (b) \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\ln(n+1)}.
    • (c) \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{2n}}{\ln(n+1)}.
  • A pergunta é: quais dessas séries convergem e quais divergem, para então escolher a alternativa correta entre (a)–(f).

Passo 2

Análise da série (a): verificar comportamento dos termos e aplicar o teste apropriado.
  • Defina b_n=\sin\!\left(\dfrac{1}{n}\right). Para todo n\ge1 temos b_n>0 porque \sin x>0 para x\in(0,\pi) e \dfrac{1}{n}\in(0,1].
  • A sequência (b_n) é monótona decrescente: como a função \sin x é crescente em (0,1] e \dfrac{1}{n+1}<\dfrac{1}{n}, segue que b_{n+1}=\sin\!\left(\dfrac{1}{n+1}\right)<\sin\!\left(\dfrac{1}{n}\right)=b_n.
  • Limite dos termos: usando a expansão em série de Taylor \sin x = x + O(x^3) quando x\to0, tem-se \sin\!\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n}+O\!\left(\frac{1}{n^3}\right)\quad\text{quando }n\to\infty,portanto \displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=0.
  • Aplicando o teste de Leibniz (critério de séries alternadas): se (b_n) é decrescente e \lim b_n=0 então \displaystyle\sum (-1)^n b_n converge. Logo a série (a) converge.
  • Convergência absoluta? Considere \sum_{n=1}^\infty |(-1)^n\sin(1/n)|=\sum_{n=1}^\infty \sin(1/n). Pelo limite anterior \sin(1/n)\sim 1/n, então por comparação limite com a série harmônica concluímos que \sum \sin(1/n) diverge. Logo a convergência de (a) é condicional (não é absoluta).

Passo 3

Análise da série (b): verificar monotonicidade dos módulos, aplicar Leibniz e investigar convergência absoluta.
  • Defina c_n=\dfrac{1}{\ln(n+1)}. Para n grande, \ln(n+1) é crescente, logo c_n é decrescente e c_n>0.
  • Limite: \displaystyle\lim_{n\to\infty}c_n=0 porque \ln(n+1)\to\infty.
  • Pelo teste de Leibniz, a série \displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^n c_n converge (condição de monotonia e termo-nulo satisfeitas). Assim (b) converge.
  • Convergência absoluta? Analise \displaystyle\sum_{n=1}^\infty c_n=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\ln(n+1)}. Use o teste de condensação de Cauchy: se a_n é positiva e decrescente, então \sum a_n converge se, e somente se, \sum_{k=1}^\infty 2^k a_{2^k} converge. Aplicando com a_n=c_n, 2^k c_{2^k}=\frac{2^k}{\ln(2^k+1)}.Para k grande temos \ln(2^k+1)\le (k+1)\ln 2, então \frac{2^k}{\ln(2^k+1)} \ge \frac{2^k}{(k+1)\ln 2}.A sequência de termos \dfrac{2^k}{(k+1)\ln 2} cresce exponencialmente com k, portanto a soma \sum_{k}2^k c_{2^k} diverge (os termos nem sequer vão para zero). Assim, pela condensação, \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{\ln(n+1)} diverge. Logo a série (b) não converge absolutamente; sua convergência é condicional.

Passo 4

Análise da série (c): simplificação do expoente e teste de divergência.
  • Note que (-1)^{2n}=1 para todo n. Portanto a série (c) é exatamente \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{2n}}{\ln(n+1)}=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\ln(n+1)}.
  • Já demonstramos no passo anterior que \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\ln(n+1)} diverge (por condensação de Cauchy). Como os termos são positivos, não há alternativa: a série (c) diverge.

Passo 5

Conclusão e correspondência com as alternativas:
  • (a) converge (condicionalmente).
  • (b) converge (condicionalmente).
  • (c) diverge.
Dessa forma apenas (c) não converge, enquanto (a) e (b) convergem. Isso corresponde à alternativa (d).

Resposta

(d)