Quanto maior a condutividade térmica ( k ), mais rápido o calor se propaga.
Ex.: Metais como cobre ( 401 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}) ) conduzem bem, enquanto isolantes como madeira ( \sim 0,1-0,14 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}) ) conduzem mal.

Passo 1

O enunciado afirma que quanto maior a condutividade térmica k mais rápido o calor se propaga e dá exemplos numéricos: cobre com k=401\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} e madeira com k\sim0,1\text{–}0,14\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
O que vou responder e explicar passo a passo: por que valores maiores de k levam a propagação de calor mais rápida, qual é a fórmula que realmente controla a “velocidade” de propagação térmica, e um cálculo comparativo (ordem de grandeza) entre cobre e madeira para ver a diferença no tempo típico de difusão térmica.

Passo 2

Introdução da lei básica que relaciona fluxo de calor com gradiente de temperatura. A forma local da lei é a seguinte:
\mathbf{q} = -k\,\nabla T,
onde:
  • \mathbf{q} é o vetor fluxo de calor (potência por área) em \mathrm{W/m^2};
  • k é a condutividade térmica em \mathrm{W/(m\cdot K)};
  • \nabla T é o gradiente de temperatura (variação de T por unidade de comprimento) em \mathrm{K/m};
  • o sinal negativo indica que o calor flui na direção de decrescimento de temperatura.
Explicação em palavras: k diz quanta potência por área aparece quando há um dado gradiente de temperatura. Quanto maior k, maior será o fluxo de calor para o mesmo gradiente.

Passo 3

Da conservação de energia conseguimos a equação de difusão de calor (sem fontes internas, num material homogêneo):
\rho c\,\frac{\partial T}{\partial t} = k\,\nabla^2 T,
onde:
  • \rho é a densidade do material em \mathrm{kg/m^3};
  • c é o calor específico em \mathrm{J/(kg\cdot K)};
  • T(\mathbf{x},t) é a temperatura;
  • \partial T/\partial t é a variação temporal da temperatura;
  • \nabla^2 T é o laplaciano espacial (uma medida de curvatura do campo de temperatura).
Cada termo tem papel físico: \rho c é a “capacidade térmica volumétrica” (quanto de energia é preciso por unidade de volume para mudar a temperatura), e k aparece multiplicando a segunda derivada espacial, impulsionando a equalização da temperatura.

Passo 4

Definição da difusividade térmica \alpha e interpretação prática:
\alpha=\frac{k}{\rho c},
onde \alpha tem unidade \mathrm{m^2/s}. A equação de calor pode ser escrita como
\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha\,\nabla^2 T.
Interpretação física simples (regra prática usada em prova): o tempo característico para um distúrbio térmico se “espalhar” numa distância característica L escala como
t\sim\frac{L^2}{\alpha}.
Ou seja, quanto maior \alpha, menor o tempo t para a temperatura se modificar numa certa escala espacial. Note bem: k é importante, mas a velocidade efetiva de “propagação” depende também de \rho e c através de \alpha.

Passo 5

Vamos fazer um cálculo comparativo numérico entre cobre e madeira (usar valores típicos):
Valores adotados (típicos):
  • cobre: \;k_{\mathrm{Cu}}=401\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\;\rho_{\mathrm{Cu}}=8960\\ \mathrm{kg/m^3},\;c_{\mathrm{Cu}}=385\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • madeira (valor representativo): \;k_{\mathrm{mad}}=0,12\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\;\rho_{\mathrm{mad}}=600\\ \mathrm{kg/m^3},\;c_{\mathrm{mad}}=1700\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Calcular \rho c e depois \alpha:
Cobre:
\rho_{\mathrm{Cu}}c_{\mathrm{Cu}}=8960\cdot385=3\,449\,600\\ \mathrm{J/(m^3\cdot K)}.
\alpha_{\mathrm{Cu}}=\frac{401}{3\,449\,600}\approx1,16\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2/s}.
Madeira:
\rho_{\mathrm{mad}}c_{\mathrm{mad}}=600\cdot1700=1\,020\,000\\ \mathrm{J/(m^3\cdot K)}.
\alpha_{\mathrm{mad}}=\frac{0,12}{1\,020\,000}\approx1,18\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s}.
Comparação direta: \alpha_{\mathrm{Cu}}/\alpha_{\mathrm{mad}}\approx\frac{1,16\times10^{-4}}{1,18\times10^{-7}}\approx1000. Ou seja, a difusividade térmica do cobre é da ordem de mil vezes maior que a da madeira com os valores escolhidos.

Passo 6

Estimativa de tempos típicos para uma distância L=1\\ \mathrm{cm}=0,01\\ \mathrm{m} usando t\sim L^2/\alpha:
L^2=(0,01)^2=1\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
Cobre:
t_{\mathrm{Cu}}\sim\frac{1\times10^{-4}}{1,16\times10^{-4}}\approx0,86\\ \mathrm{s}.
Madeira:
t_{\mathrm{mad}}\sim\frac{1\times10^{-4}}{1,18\times10^{-7}}\approx850\\ \mathrm{s}\approx14\\ \mathrm{min}\\\ 10\\ \mathrm{s}.
Interpretação: para perturbar a temperatura a 1 cm de profundidade, o cobre responde em fração de segundo enquanto a madeira leva minutos — ilustrando dramaticamente por que metais “parecem” conduzir muito mais rápido.

Passo 7

Conclusão didática e observações finais (coisa importante para prova):
  • A afirmação do enunciado é correta em sentido prático: aumentar k aumenta o fluxo térmico para um dado gradiente e, geralmente, acelera a equalização térmica.
  • Contudo, a medida que realmente controla o tempo típico de propagação é a difusividade térmica \alpha=\dfrac{k}{\rho c}. Portanto, densidade \rho e calor específico c também importam (um material com alto k mas muito grande \rho c pode ter \alpha menor do que outro com k moderado).
  • Em provas: lembre-se de citar a lei \mathbf{q}=-k\nabla T, definir \alpha e usar t\sim L^2/\alpha para estimativas rápidas. Para comparar materiais, calcule \alpha e compare ordens de grandeza como mostrado.

Resposta

Sim — maior condutividade k tende a acelerar a propagação do calor, mas o parâmetro que determina o tempo de difusão é a difusividade térmica \alpha=\dfrac{k}{\rho c}. Exemplos numéricos típicos: \alpha_{\mathrm{Cu}}\approx1,16\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2/s}, \alpha_{\mathrm{madeira}}\approx1,18\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s}. Para L=1\\ \mathrm{cm}, t_{\mathrm{Cu}}\approx0,86\\ \mathrm{s} e t_{\mathrm{madeira}}\approx850\\ \mathrm{s}\\ (\approx14\\ \text{min}\\\ 10\\ \text{s}).